Estymatory zmienności oparte na zakresie OHLC: Parkinson, Garman–Klass, Rogers–Satchell i Yang–Zhang

Stopa zwrotu close-to-close wykorzystuje tylko dwa kursy zamknięcia. Maksimum i minimum w danym przedziale dostarczają również informacji o ruchu między otwarciem a zamknięciem. Estymatory zakresowe wykorzystują te dane do oszacowania wariancji, czyli kwadratu zmienności.

Oznaczmy kurs otwarcia jako O, maksimum jako H, minimum jako L, a zamknięcie jako C w tym samym przedziale. Poniższe wzory wykorzystują logarytm naturalny i podają wariancję na przedział; jej pierwiastek kwadratowy to zmienność na przedział. Dane OHLC powinny dotyczyć zgodnych świec, stref czasowych i definicji sesji.

Dla n przedziałów estymator Parkinsona ma postać:

σ²_P = mean[(ln(Hᵢ/Lᵢ))²] / (4 ln 2)

Potrzebne są tylko H i L. W modelu ciągłej ścieżki cen bez dryfu zakres wewnątrz przedziału dostarcza informacji o wariancji, których nie dają dwa kursy zamknięcia. Parkinson zakłada jednak proces bez dryfu i ciągłą ścieżkę; skoki cen i luki poza sesją nie mieszczą się w zakresie jednej sesji. Zobacz oryginalną pracę Parkinsona.

Wynik jest wariancją obserwowanego przedziału według tego modelu, a nie miarą przyszłej zmienności. Przy istotnym dryfie lub skokach cen interpretacja zgodna z założeniami estymatora może być nieodpowiednia.

Estymator Garmana–Klassa dodaje C i O:

σ²_GK = mean[0.5(ln(Hᵢ/Lᵢ))² − (2 ln 2 − 1)(ln(Cᵢ/Oᵢ))²]

Składnik zakresowy podsumowuje ruch w przedziale, a składnik open-to-close koryguje jego udział. Standardowy wzór wyprowadzono dla ciągłego procesu dyfuzji bez dryfu i bez odrębnej luki na otwarciu. Nie ujmuje więc automatycznie skoku od zamknięcia poprzedniej sesji do otwarcia kolejnej. Praca Garmana i Klassa opisuje estymator zmienności zbudowany na danych OHLC.

Estymator Rogersa–Satchella wykorzystuje wszystkie cztery ceny:

σ²_RS = mean[ln(Hᵢ/Oᵢ) ln(Hᵢ/Cᵢ) + ln(Lᵢ/Oᵢ) ln(Lᵢ/Cᵢ)]

W odróżnieniu od standardowych postaci Parkinsona i Garmana–Klassa estymator zaprojektowano tak, aby w modelu ciągłej dyfuzji pozostawał nieobciążony przy stałym dryfie. Składniki odnoszą maksimum i minimum do kursu otwarcia oraz zamknięcia. Ta część mierzy ruch w obrębie przedziału, ale nie dodaje stopy zwrotu overnight od poprzedniego zamknięcia. Zobacz pracę Rogersa i Satchella.

Jeśli cena zmienia się podczas zamknięcia rynku, maksimum i minimum z sesji nie pokazują całej zmiany. Yang–Zhang łączy trzy składniki w oknie n sesji:

• σ²_overnight to wariancja z próby ln(Oᵢ/Cᵢ₋₁), czyli stóp zwrotu close-to-open. • σ²_open-close to wariancja z próby ln(Cᵢ/Oᵢ). • mean(RS) to średnia składników Rogersa–Satchella w oknie.

Na rynkach działających 24/7 „overnight” oznacza stopę zwrotu od zamknięcia poprzedniej świecy do otwarcia następnej, a nie okres zamknięcia rynku. Granice świec określaj konsekwentnie.

Wzór:

σ²_YZ = σ²_overnight + kσ²_open-close + (1 − k)mean(RS)

k = 0.34 / [1.34 + (n + 1)/(n − 1)]

Obie wariancje z próby stosują mianownik n − 1, dlatego n musi być większe od 1. Składnik overnight włącza lukę close-to-open, a RS obsługuje dryf wewnątrz sesji w modelu podstawowym. To połączenie obejmujące wiele sesji zaprojektowano tak, by przy założeniach modelu było niezależne od dryfu i uwzględniało skoki cen na otwarciu. Ponieważ k zależy od długości okna n, podaj n przy porównywaniu wyników. Praca Yanga i Zhanga przedstawia ten estymator wielookresowy.

Poniższa tabela zawiera wyłącznie hipotetyczne dane i służy tylko do pokazania obliczeń. C₀ to zamknięcie przed pierwszą sesją.

Średnie wariancje na sesję wynoszą:

Dla Yang–Zhang stopy zwrotu overnight to ln(100/100) = 0, ln(105/103) ≈ 0,01923 i ln(101/103) ≈ −0,01961; wariancja z próby wynosi około 0,0003771. Stopy zwrotu open-to-close to ln(103/100) ≈ 0,02956, ln(103/105) ≈ −0,01923 i ln(105/101) ≈ 0,03884; wariancja z próby wynosi około 0,0009731. Przy n = 3, k ≈ 0,1018 i mean(RS) ≈ 0,0015458, więc σ²_YZ ≈ 0,0018646. Dzienne odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji, około 4,32%.

Trzy sesje to za mało na stabilną estymację ryzyka; liczby pokazują tylko obliczenia. Różnica wyników nie wskazuje, który estymator będzie najdokładniejszy dla rzeczywistych danych.

Wzory Parkinsona, Garmana–Klassa i Rogersa–Satchella powyżej uśredniają składniki wybranych świec. Yang–Zhang wykorzystuje wiele sesji, bo wymaga stóp zwrotu overnight. Nie porównuj estymat z różnych przedziałów, okien lub definicji sesji tak, jakby mierzyły dokładnie to samo.

Dla danych dziennych wariancję na dzień można pomnożyć przez wybraną konwencję liczby sesji w roku, a następnie obliczyć pierwiastek kwadratowy, aby uzyskać zmienność annualizowaną. Przykładowo, 252 to konwencja odpowiadająca około 252 sesjom, a nie uniwersalna reguła. Annualizacja nie naprawia błędnych danych, nietrafionych założeń ani nieuwzględnionych luk.

Estymatory wymagają poprawnych danych OHLC i jasno określonych przedziałów. Brakujące maksima lub minima, nieaktualne ceny, brak świec, splity akcji, korekty danych, zmiany stref czasowych lub różne godziny zamknięcia sesji mogą zmienić zakres i stopy zwrotu. Korzystaj ze spójnych cen i jednolicie koryguj szereg, jeśli wymagają tego działania korporacyjne.

Modele podstawowe upraszczają proces cenowy. Parkinson i Garman–Klass wymagają ciągłej ścieżki bez dryfu; Rogers–Satchell dopuszcza dryf w sesji w ramach modelu dyfuzji; Yang–Zhang uwzględnia lukę na otwarciu przez składnik overnight, ale nadal zależy od estymatorów składowych i danych z wielu sesji. Skoki w trakcie sesji, mała płynność, limity cenowe i zmienna zmienność mogą sprawić, że wynik słabiej opisuje ryzyko.

Estymatory zakresowe wykorzystują maksimum i minimum, których nie ma w prostym pomiarze close-to-close. Aby porównać je z estymacją opartą tylko na zamknięciach, zobacz przewodnik po obliczaniu zmienności zrealizowanej. Każda metoda podsumowuje historyczne dane w określonym oknie; nie prognozuje kierunku ani wielkości kolejnego ruchu i nie stanowi porady inwestycyjnej.