Hasbrouck-informatieaandeel: prijsontdekking tussen markten meten

Hetzelfde effect kan op meerdere handelsplaatsen worden verhandeld, of nauw verwante instrumenten kunnen één onderliggende waarde weerspiegelen. De waargenomen prijzen hoeven niet elk moment gelijk te zijn. Een notering kan op de ene plaats eerst bewegen, waarna een andere markt reageert en beide prijzen uiteindelijk rond één gemeenschappelijk langetermijnpad uitkomen. Prijsontdekking gaat over de manier waarop nieuwe informatie in die gedeelde permanente component wordt verwerkt. Dat is iets anders dan handelsvolume, genoteerde liquiditeit of de markt waar de laatste transactie plaatsvond.

Hasbroucks informatieaandeel is ontwikkeld om die vraag te onderzoeken. In zijn raamwerk delen de gekoppelde marktprijzen een impliciete, niet-waargenomen efficiënte prijs; elke waargenomen prijs kan daarnaast tijdelijke afwijkingen bevatten. Het aandeel van een markt is de proportionele bijdrage van haar innovaties aan de variantie van de innovatie in de gemeenschappelijke efficiënte prijs (Hasbrouck, 1995). De schatting hangt af van het gekozen systeem, de steekproef en de manier waarop waarnemingen worden verzameld. Ze laat niet zien wie informatie het eerst ontving, bewijst geen causaal kanaal en toont niet aan dat een handelsplaats bij elke gebeurtenis voorloopt.

Dit onderscheid is van belang wanneer een handelsplaats meer volume of kleinere spreads heeft. Die kenmerken kunnen samenhangen met prijsontdekking, maar het informatieaandeel meet een modelmatige bijdrage aan permanente prijsveranderingen. Een markt kan veel volume hebben terwijl een andere markt meer bijdraagt aan de innovaties die de gedeelde langetermijnprijs bewegen.

Laat p_t de waargenomen prijzen bevatten voor d handelsplaatsen waar hetzelfde activum of economisch gelijkwaardige claims worden verhandeld. In de gebruikelijke microstructuurbenadering zijn prijsniveaus niet-stationair, vaak I(1), terwijl prijsverschillen op lange termijn door arbitrage stationair blijven. Bij twee handelsplaatsen en één gemeenschappelijke trend is er één cointegratierelatie, meestal een genormaliseerd prijsverschil. Meer algemeen hebben d gekoppelde prijzen met één gedeelde stochastische trend een cointegratierang van d−1.

Dit is een empirische aanname die moet worden onderzocht, geen vanzelfsprekendheid omdat op twee schermen dezelfde ticker staat. Prijzen kunnen verschillen door contractvoorwaarden, valuta, financiering, dividenden, levering of een aanhoudende basis. De relatie kan ook veranderen na een verhuizing naar een andere handelsplaats, een tariefwijziging, een hervorming van de marktstructuur of een wijziging van de gegevensdefinitie. Als de waargenomen reeksen binnen de gekozen steekproef niet de veronderstelde langetermijnrelatie delen, hebben de decompositie van de efficiënte prijs en de bijbehorende aandelen niet de bedoelde interpretatie.

Cointegratie en foutcorrectie verbinden een stationaire langetermijnrelatie met een model voor prijsveranderingen op korte termijn (Engle en Granger, 1987). Een VECM maakt die structuur expliciet. Het onderscheidt tijdelijke aanpassingen rond de gemeenschappelijke prijs van innovaties die de langetermijncomponent kunnen beïnvloeden.

<!-- learn:illustration --> <!-- Tekstloze illustratie: twee prijsreeksen van handelsplaatsen schommelen rond één gedeeld, gladder langetermijnpad, met tijdelijke afwijkingen per handelsplaats. Geen marktdata, causaal diagram of prognose. -->

Voor d prijsreeksen kan een VECM worden geschreven als

\[ \Delta p_t=\alpha\beta^{\mathsf T}p_{t-1} +\sum_{j=1}^{q-1}\Gamma_j\Delta p_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

Hier spant β de cointegratierelaties op, bevat α de aanpassingsladingen, beschrijft Γ_j de dynamiek van kortetermijnvertragingen en is ε_t de vector van gereduceerde-vorminnovaties met covariantiematrix Ω. In het gebruikelijke geval met één efficiënte prijs kan de langetermijnimpact van deze innovaties worden samengevat met een rijvector ψ. De verandering van de permanente prijs is

\[ \Delta m_t=\psi\varepsilon_t, \]

met inachtneming van de gekozen normalisatie en deterministische termen in het model. De totale variantie van deze verandering is

\[ \operatorname{Var}(\Delta m_t)=\psi\Omega\psi^{\mathsf T}. \]

De vector ψ volgt uit de langetermijnrepresentatie van het geschatte systeem; het is niet simpelweg de aanpassingscoëfficiënt α of de cointegratievector β. Prijsveranderingen op korte termijn kunnen groot maar tijdelijk zijn, terwijl een kleinere innovatie belangrijker kan zijn voor prijsontdekking als het effect ervan in de gedeelde permanente component blijft bestaan.

De gemeenschappelijke trend en de normalisatie ervan moeten worden vermeld. Als de representatie van de efficiënte prijs met een constante wordt vermenigvuldigd, veranderen de eenheden van ψ en de variantie van de gemeenschappelijke prijs, maar de genormaliseerde informatieaandelen blijven gelijk. Als het systeem meer dan één gemeenschappelijke stochastische trend heeft, volstaat één scalaire efficiënte prijs niet; de onderzoeker moet aangeven welke permanente component of lineaire combinatie wordt ontleed.

Als de innovaties van de handelsplaatsen onderling ongecorreleerd zijn, is Ω diagonaal. De bijdrage van elke markt aan de variantie van de permanente prijs kan dan rechtstreeks worden gescheiden:

\[ \operatorname{IS}_i= \frac{\psi_i^2\Omega_{ii}}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}, \qquad \sum_{i=1}^{d}\operatorname{IS}_i=1. \]

Deze formule weegt de langetermijnimpact van een markt met de variantie van haar eigen innovatie. Een handelsplaats kan een groter informatieaandeel krijgen als haar prijsinnovatie een groter blijvend effect heeft of als haar innovatievariantie groter is. Alleen de absolute omvang van VECM-aanpassingscoëfficiënten vergelijken is niet voldoende.

Bij gelijktijdig gecorreleerde innovaties bevat de totale variantie covariantietermen. Uit alleen Ω is geen unieke manier af te leiden om die gedeelde termen aan individuele handelsplaatsen toe te wijzen. Hasbrouck gebruikt een Cholesky-factorisatie Ω=FF^T om orthogonale innovaties te construeren. Voor een gekozen variabelenvolgorde is het aandeel dat aan orthogonale schok i wordt toegewezen

\[ \operatorname{IS}_i(F)= \frac{(\psi F)_i^2}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}. \]

De factorisatie maakt de schokken orthogonaal, maar de driehoeksvorm geeft variabelen die eerder in de ordening staan voorrang bij het opnemen van de gedeelde gelijktijdige variatie. De ordening is een toewijzingsconventie voor de decompositie en bewijst geen economische informatiehiërarchie.

Als innovaties van twee handelsplaatsen sterk gecorreleerd zijn doordat hun prijzen binnen hetzelfde waarnemingsinterval worden bijgewerkt, laten de gegevens moeilijk zien op welke markt een innovatie het eerst aankwam. Een Cholesky-decompositie wijst hun gemeenschappelijke beweging anders toe, afhankelijk van welke markt eerst staat. De procedure van Hasbrouck rapporteert een ondergrens door een markt als laatste te ordenen en een bovengrens door haar als eerste te ordenen, voor de relevante volgorden.

Deze grenzen beantwoorden een eerlijkere vraag dan één handig gekozen ordening: hoeveel kan het aandeel van deze markt variëren onder de toelaatbare recursieve toewijzingen van gecorreleerde innovaties? Smalle grenzen wijzen erop dat deze specifieke ordeningskwestie weinig invloed heeft in de geschatte steekproef. Brede grenzen betekenen dat de verdeling over handelsplaatsen door gelijktijdige prijsinnovaties zwak wordt geïdentificeerd. Soms wordt een middenwaarde als samenvatting gegeven, maar die is geen uniek geïdentificeerde schatting en mag de grenzen of een expliciet vermelde ordening niet vervangen.

Vaker bemonsteren kan de schijnbare gelijktijdige correlatie verminderen als de ene handelsplaats eerder wordt bijgewerkt dan de andere, maar garandeert geen correlatie van nul. Een grove bemonstering verbergt de volgorde van prijsupdates; zeer fijne bemonstering kan verouderde waarnemingen en problemen door asynchrone noteringen veroorzaken. Vermeld zowel de bemonsteringsregel als de gevoeligheid voor de ordening.

Stel, uitsluitend ter illustratie, dat een geschatte VECM een genormaliseerde permanente-prijsimpactvector oplevert van ψ=(0.6,0.4). Neem de volgende covariantiematrix van gereduceerde-vorminnovaties:

\[ \Omega= \begin{pmatrix} 1 & 0.8\\ 0.8 & 1 \end{pmatrix}. \]

De innovaties hebben variantie één en correlatie 0.8. De totale variantie van de innovatie in de permanente prijs is

\[ \psi\Omega\psi^{\mathsf T} =0.6^2+0.4^2+2(0.6)(0.4)(0.8) =0.904. \]

Orden Markt A als eerste. Een onderste driehoekige Cholesky-factor is

\[ F_A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0.8 & 0.6 \end{pmatrix}, \qquad \psi F_A=(0.92,0.24). \]

De aandelen zijn A: \(0.92^2/0.904\approx93.6\%\) en B: \(0.24^2/0.904\approx6.4\%\). Keer de ordening om en zet B eerst. Dezelfde berekening wijst dan ongeveer 85.7% toe aan B en 14.3% aan A. De ordeningsafhankelijke grenzen zijn dus ongeveer 14.3%–93.6% voor A en 6.4%–85.7% voor B. Bij elke afzonderlijke ordening tellen de aandelen op tot 100%; de afzonderlijke onder- of bovengrenzen van verschillende markten hoeven samen niet 100% te zijn.

Alle waarden zijn hypothetisch: de impactvector van de VECM, de innovatievarianties van één en de correlatie van 0.8 zijn alleen gekozen om de berekening reproduceerbaar te maken. Het voorbeeld is geen uitkomst voor een beurs, activum of steekproef. Het laat zien hoe gecorreleerde innovaties ervoor kunnen zorgen dat een ogenschijnlijk nauwkeurige rangschikking van markten sterk afhangt van de Cholesky-ordening.

De decompositie van Gonzalo–Granger construeert een permanente component als een genormaliseerde lineaire combinatie van waargenomen prijzen. In een VECM met aanpassingsmatrix α liggen de gewichten van de gemeenschappelijke factor in de orthogonale complementruimte van α: een gewichtenvector w voldoet aan α^T w=0, met een normalisatie zoals dat de gewichten samen één zijn. De resulterende gemeenschappelijke factor reageert op lange termijn niet op de foutcorrectietermen. Gonzalo en Granger ontwikkelden deze decompositie in permanente en tijdelijke componenten voor gecointegreerde systemen (Gonzalo en Granger, 1995).

Die componentgewichten beschrijven hoe het niveau van de gemeenschappelijke prijs uit de prijzen van handelsplaatsen wordt gevormd. Hasbroucks informatieaandelen meten daarentegen de bijdrage van elke handelsplaats aan de variantie van innovaties in de gemeenschappelijke permanente prijs. De maatstaven kunnen sterk op elkaar lijken, maar het informatieaandeel houdt ook rekening met de variantie van de innovatie van elke markt. De vergelijking van de Jong en de analyse van Baillie, Booth, Tse en Zabotina verklaren waarom de maatstaven op elkaar kunnen lijken bij ongecorreleerde innovaties en uiteen kunnen lopen als innovaties gecorreleerd zijn of verschillende varianties hebben (de Jong, 200200028-9); Baillie et al., 200200027-7)).

De bovenstaande hypothetische invoerwaarden \(\psi\) en \(\Omega\) bepalen de componentgewichten van Gonzalo–Granger niet. Die gewichten hangen af van de VECM-aanpassingsmatrix \(\alpha\) en een expliciet vermelde normalisatie. Uit de invoer voor de variantiedecompositie alleen volgt geen numeriek componentgewicht. Dat onderscheid is essentieel: componentgewichten construeren een permanente prijs uit waargenomen prijzen, terwijl Hasbrouck-information shares de variantie van de innovatie daarin ontleden.

De prijsreeksen moeten vergelijkbare claims beschrijven en aan een verdedigbare klok zijn gekoppeld. Vermeld of elke waarneming een transactieprijs, middenprijs of andere noteringsmaat is; hoe je omgaat met vergrendelde of gekruiste noteringen, verouderde prijzen, veilingen, marktsluitingen en berichten buiten volgorde; en of beide handelsplaatsen tijdens de steekproef open zijn. Documenteer voor futures contractrollovers en leveringsverschillen. Lijn voor kruisnoteringen valuta, ondernemingsacties en eenheden op elkaar af voordat je de VECM schat.

Asynchrone waarnemingen zijn een belangrijk aandachtspunt. Als de ene handelsplaats om 10:00:00.100 wordt bijgewerkt en de andere om 10:00:00.700, kan een bemonsteringsraster van één seconde een opeenvolgende reactie gelijktijdig doen lijken; een grover raster vervaagt die nog meer. Een zeer fijn raster kan juist verouderde prijzen meenemen, waardoor kunstmatige voor- en nalooppatronen ontstaan. Vermeld de bemonsteringsfrequentie, synchronisatieregel, filters voor noteringen en gevoeligheid voor redelijke alternatieven. Kortere intervallen kunnen door aggregatie veroorzaakte correlatie verminderen, maar nemen echte gemeenschappelijke schokken, gelijktijdige updates of tijdstempelfouten niet weg.

Het aandeel hangt ook af van het aantal vertragingen, deterministische termen, begin- en eindpunten van de steekproef en structurele stabiliteit. Te weinig vertragingen kunnen seriële afhankelijkheid in VECM-innovaties achterlaten; te veel kunnen de schattingsruis vergroten. Een wijziging van handelsregels of openingstijden kan het aanpassingsproces veranderen. Gebruik residudiagnostiek en onzekerheidsmarges, en overweeg een bootstrap die de volledige VECM en de grenzen van de aandelen opnieuw schat. Een kleine standaardfout onder één specificatie omvat niet automatisch de onzekerheid over model- en gegevenskeuzes.

Een informatieaandeel kwantificeert hoe innovaties van elke gemodelleerde handelsplaats bijdragen aan de geschatte variantie van de permanente prijs, gegeven een bepaalde VECM en orthogonalisatie. Een hoog aandeel bewijst niet dat de handelsplaats het nieuws heeft gecreëerd, bij elke gebeurtenis als eerste beweegt of het volgende rendement voorspelt. Gemeenschappelijke informatie kan vrijwel gelijktijdig bij markten aankomen, terwijl marktfricties en de timing van waarnemingen de gemeten verdeling beïnvloeden.

Het is ook geen directe maatstaf voor marktkwaliteit. Een handelsplaats kan bijdragen aan de gemeenschappelijke prijs en tegelijk een brede spread, geringe zichtbare diepte of hoge uitvoeringskosten hebben. Omgekeerd kan een handelsplaats goedkope liquiditeit aanbieden en in de gekozen steekproef minder bijdragen aan de innovatie van de permanente prijs. De Roll-spreadschatter schat met autocovariantie van rendementen iets anders, en orderflow-imbalance vat veranderingen in zichtbare orderboekrijen samen in plaats van de variantie van langetermijninnovaties.

Een analyse van informatieaandelen die een handelsclaim ondersteunt, moet deel uitmaken van een vooraf vastgelegde strategietoets buiten de steekproef, inclusief kosten, bid-askspread, vertraging, slippage, marktimpact en toegang tot handelsplaatsen. De gids over Engle–Granger bespreekt het alternatief van cointegratie met één vergelijking; de gids over de Johansen-rang behandelt de cointegratierang van een systeem. Noch cointegratie noch een hoog informatieaandeel bewijst dat een regel winstgevend is.