KPSS定常性検定：帰無仮説・統計量・帯域幅

Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin検定は、通常KPSS検定と呼ばれます。よく知られたDickey–Fuller検定とは帰無仮説の置き方が逆です。KPSSでは、検定に指定した決定論的成分を基準に系列が定常であることを帰無仮説とします。原論文の対立仮説では、正のイノベーション分散を持つランダムウォーク成分を許します。

この違いで結果の読み方が変わります。KPSS統計量が十分に大きければ、選択したレベル定常性またはトレンド定常性の帰無仮説を棄却する根拠になります。統計量が小さい場合は、選択した設定のもとで標本から棄却するだけの証拠が得られなかったという意味です。過程が永続的に定常であること、平均が安定し続けること、価格が取引に使える水準へ戻ることの証明ではありません。

定常性と単位根のガイドでは関連する概念を紹介します。ADF検定とPhillips–Perron検定の比較では、代わりに単位根を帰無仮説に置く二つの検定を説明します。これは同じ問いに対する別方式ではなく、相補的な問いです。

KPSSは観測系列を次のように表します。

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

ここで、\(d_t\)は決定論的成分、\(r_t\)はランダムウォーク成分、\(\epsilon_t\)は定常誤差です。レベル定常性検定では\(d_t\)に切片を含め、トレンド定常性検定では切片と線形時間トレンドを含めます。

帰無仮説ではランダムウォークのイノベーション分散をゼロ、すなわち\(\sigma_u^2=0\)とします。このランダムウォークがなければ、系列は指定した定数または決定論的トレンドの周りで変動します。対立仮説は\(\sigma_u^2>0\)を許し、ショックが指定経路の周りで減衰せず、確率的トレンドを形成する可能性を認めます。

これは検定で維持するモデルであり、すべての対立状態が教科書的なランダムウォークだという主張ではありません。構造変化、分数積分による持続性、非線形動学、分散の変化、適切でない決定論的項も、帰無モデルと標本の不整合を生みます。検定が示すのは設定との緊張であり、唯一の代替モデルではありません。

まず観測値を検定で選んだ決定論的項に回帰し、その残差を\(\hat e_t\)とします。累積部分和は

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

KPSS統計量は一般に次の形です。

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

ここで\(n\)は標本数、\(\hat{\omega}^{\,2}\)は残差の長期分散推定値です。同符号の残差が続くと\(S_t\)はゼロから離れます。部分和を二乗するため、単発の符号変化よりも、同じ方向の乖離が積み重なる影響が大きくなります。

統計量は非負です。推定した長期分散に対して累積乖離が大きいほど、定常性の帰無仮説を維持しにくくなります。分母は重要です。定常過程でも残差の系列相関によって部分和の変動が変わるためです。

レベル版は、系列が定数の周りで定常かを問います。トレンド版では切片と線形時間トレンドを先に除き、残りの成分が定常かを調べます。実装によってmu、tauと表記されますが、名称や出力規約はソフトウェアで異なります。

選択によって残差と参照分布の両方が変わります。トレンド定常系列からトレンドを除かなければ長い残差パターンが残り、統計量が大きくなることがあります。根拠なくトレンドを加えると検定対象のモデルが変わり、一部の対立仮説を検出しにくくなる可能性があります。データの定義と経済的な問いに基づいて選び、結果を見て都合のよい仕様へ切り替えないでください。

KPSSの臨界値は通常のt分布やカイ二乗分布ではなく、レベル版とトレンド版それぞれの非標準な漸近分布に基づきます。一般的なt値やカイ二乗の基準と比べたり、覚えた一つの閾値をすべての仕様に使ったりしないでください。対応する表またはソフトウェア出力を使い、有意水準も記載します。

一部の実装は有限個の臨界値と比較するため、p値を範囲でしか示しません。その場合は根拠のない桁を補わず、出力が裏付ける範囲を報告してください。レベル・トレンドの別と臨界値の出典も記せば、他の人が判断を再現できます。

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長期分散は、残差の自己共分散を重み付けして推定できます。

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

ここで、\(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\)は分母に\(n\)を用いるラグ\(j\)の標本自己共分散です。有限標本での計算規約は実装によって異なることがあります。

Bartlett重みなら\(w_j=1-j/(\ell+1)\)です。打ち切り帯域幅\(\ell\)は、何個の残差自己共分散を含めるかと、その重みをどの速さで小さくするかを決めます。カーネル、帯域幅規則、有限標本での計算方法は実装によって異なるため、再現可能なように指定を報告します。

この帯域幅はADF回帰に追加する差分ラグ数とは異なります。KPSSでは長期分散推定に含める自己共分散を制御します。ADFでは差分ラグを回帰式自体に加えます。ソフトウェアが両方をlagと表示することがあるため、「lag 4」だけでは再現可能な説明になりません。

帯域幅が短すぎると重要な短期依存を長期分散推定から落とす可能性があります。長すぎるとノイズの多い標本自己共分散を加えます。どちらも統計量や検定のサイズ・検出力を変え得ますが、影響の方向がすべての残差パターンで同じとは限りません。カーネルと選択規則を記し、事前に妥当と考えた別設定で解釈が変わるか確認します。

長期分散調整は、異分散・自己相関整合（HAC）共分散推定と関係します。ただし、あらゆる依存、構造変化、不適切な決定論的仕様に頑健になるわけではありません。Newey–West共分散のガイドでHAC推定の役割と限界を解説しています。

合成した6観測値に対するトレンド回帰の残差が\(1,-1,0,0,-1,1\)だとします。合計はゼロで、線形時間トレンドとの内積もゼロです。これはトレンド回帰の残差に期待される条件です。部分和は\(1,0,0,0,-1,0\)で、その二乗和は\(2\)です。

計算の例として、分母が\(n\)の標本自己共分散と帯域幅1のBartlett重みを使います。残差分散項は\(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\)、1次自己共分散は\(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\)、重みは\(1/2\)です。したがって

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

この6点の計算は仕組みを示すだけです。通常の漸近的KPSS判断には標本が小さすぎます。実証結果のように公表済み臨界値と比較してはいけません。

KPSSとADF型検定を並べると、結論が帰無仮説にどれだけ依存するかを確認できます。二つは異なるモデルのもとで証拠を示します。

二つの検定では、ラグ補正、決定論的項、標本、有限標本近似が異なる場合があります。可能なら設定をそろえ、避けられない違いは記録します。表の4通りを自動的な差分ルールに変えないでください。いずれかの帰無仮説を棄却できないことは、その帰無仮説が真だという意味ではありません。

平均の一度の変化、トレンドの変化、分散の変化は、局面ごとには定常な系列を全標本では非定常に見せることがあります。反対に、根が1に近いと限られたデータでは単位根と区別しにくくなります。短い標本、外れ値、厚い裾、非線形調整、分数積分も参照近似を誤らせる要因です。

報告前に水準、選んだ決定論的適合値、残差を図示してください。変化が疑われる場合は、帰無仮説、変化の扱い、臨界値を明記した変化対応の設計を用います。複数の変化日や帯域幅を試したなら探索を開示してください。探索後の最小p値は未選択の検定結果ではありません。

ペアやスプレッドを分析する場合、KPSSは二資産の共和分を検定しません。Engle–Grangerのガイドでは残差型共和分検定と独自の臨界値問題を説明します。Johansen共和分ランクのガイドはシステム型の方法を扱います。一つの価格系列に対するKPSSで、どちらの分析も代替できません。

推定したヘッジ比率、ARMAモデル、選択した変化日から得た残差に適用するなら、先行する推定も考慮してください。パラメータ推定やモデル選択は帰無分布を変え得ます。標準臨界値が分析全体にそのまま有効だと仮定せず、推定モデルに合わせて較正した残差検定か、推定手順を繰り返すブートストラップを使います。

変数と変換、観測数、レベルまたはトレンドの帰無仮説、決定論的項、長期分散のカーネル、帯域幅規則、統計量、対応する臨界値またはp値、有意水準を記載します。感度分析は、代替設定を選んだ理由も透明に報告する場合に行います。多くの期間や仕様を試してから最も都合のよい結果だけを選んではいけません。

市場データでは、標本期間、頻度、取引セッションのそろえ方、欠損値の処理、対象が価格・リターン・残差・スプレッドのどれかを記します。KPSSの帰無仮説を棄却できなくても、スプレッドが近く収束する証拠にはなりません。平均回帰戦略には、均衡の定義、標本外評価、実行時に利用可能なシグナル、スプレッド・資金調達・借入・執行コストの現実的な評価も必要です。

対数価格水準への検定と、対数価格の1次差分であるリターンへの検定は異なる問いです。一部のモデルでは差分で確率的トレンドを除けますが、対象変数も変わり、二資産間の長期関係は証明しません。推定対象とモデルから変換を選び、明記してください。

Kwiatkowski、Phillips、Schmidt、Shinの1992年論文90104-Y)は、ランダムウォーク成分の分散がゼロかを問うLM検定としてこの検定を定式化しました。NeweyとWestの1987年論文は、正半定値HAC共分散推定の主要な一次文献です。単位根帰無との比較にはDickeyとFullerの1979年論文を参照してください。