Test de saltos de Lee–Mykland: detección de saltos de precios intradía

La varianza realizada suma los rendimientos intradía al cuadrado a lo largo de una sesión. Bajo supuestos concretos sobre saltos y muestreo, la variación bipotencia puede estimar el componente continuo. Ambas medidas resumen un período y, por sí solas, no revelan cuándo ocurrió un movimiento inusual. El método de Lee y Mykland evalúa los rendimientos intervalo por intervalo y compara cada movimiento con la volatilidad estimada a partir de los rendimientos inmediatamente anteriores.

La distinción resulta útil para estudios de eventos, modelos de volatilidad y descripciones del momento de los saltos. Un rendimiento del 1% puede ser extraordinario en un mercado tranquilo y habitual durante una sesión volátil. Estandarizarlo por la volatilidad local reciente tiene en cuenta el cambio de escala. El método se diseñó para detectar la llegada de saltos intradía y estimar su tamaño realizado; no establece por qué se produjo el movimiento ni si podía operarse (Lee y Mykland, 2008).

La hipótesis nula se refiere al proceso de precios en un intervalo concreto: no hubo salto allí y la trayectoria del componente fue continua, bajo condiciones de regularidad. No afirma que el rendimiento sea cero. Las trayectorias continuas también pueden generar rendimientos grandes, sobre todo con volatilidad elevada; por eso no basta un corte basado únicamente en el tamaño del rendimiento.

Sea \(P_i\) el precio observado en una cuadrícula regular en el instante \(t_i\). El rendimiento logarítmico del intervalo (i) es

\[ r_i=\log(P_i/P_{i-1}). \]

El test requiere coherencia en el campo de precios y la cuadrícula. Se pueden usar precios de transacción, puntos medios de cotizaciones u otro indicador documentado, pero cambiarlo puede alterar tanto el rendimiento como la etiqueta de salto. Defina cómo tratar aperturas y cierres, subastas, interrupciones y cotizaciones ausentes. No mezcle silenciosamente el rendimiento entre cierre y apertura con intervalos intradía ordinarios.

El muestreo regular importa porque la escala local y el umbral de valores extremos se derivan para un esquema de observación determinado. Si los datos son irregulares, elija una regla de sincronización o muestreo defendible y explique qué información descarta. La fórmula no corrige cotizaciones obsoletas o cruzadas, marcas de tiempo incorrectas ni errores aislados de registro. Tampoco se deben tratar precios de distintos centros o activos como sincronizados sin comprobar su alineación.

Es un test sobre rendimientos observados, no sobre precios latentes. La teoría original usa modelos de semimartingala de alta frecuencia y condiciones que no se cumplen automáticamente en cada flujo de cotizaciones o plataforma de activos digitales. Documente fuente, zona horaria, cuadrícula, sesión y filtros para que otra persona pueda reconstruir la serie.

En el instante candidato \(t_i\), estime la varianza local con rendimientos anteriores a \(r_i\):

\[ \widehat{\sigma}_i^2=\frac{1}{K-2}\sum_{j=i-K+2}^{i-1}|r_j|\,|r_{j-1}|,\qquad \widehat{\sigma}_i=\sqrt{\widehat{\sigma}_i^2}. \]

\(K\) controla el ancho de la ventana móvil. La suma contiene productos de valores absolutos de rendimientos adyacentes y excluye el rendimiento candidato \(r_i\). Esta forma de variación bipotencia ayuda a que un salto aislado anterior no domine la escala usada para evaluar el intervalo siguiente. La literatura de volatilidad realizada explica cómo las sumas y los productos de rendimientos de alta frecuencia estiman rasgos distintos de la variación cuadrática (Barndorff-Nielsen y Shephard, 2002).

La estimación es local; no es un pronóstico de volatilidad para toda la sesión. Una ventana corta se adapta rápidamente, pero puede ser inestable; una larga es más suave, aunque puede retrasarse ante cambios de volatilidad. En el argumento asintótico original, \(K\) crece al reducirse el intervalo de muestreo, pero sigue siendo pequeño respecto del horizonte total. En una muestra finita práctica, documente la elección y examine su sensibilidad: no existe un \(K\) universal para todos los activos, cuadrículas y regímenes.

También hace falta una política para estimaciones nulas o casi nulas. Dividir por una escala diminuta puede producir un estadístico extremo a partir de un tick pequeño. No sustituya esos valores en silencio por un mínimo arbitrario: comunique la regla, inspeccione las cotizaciones y muestre si alternativas razonables cambian los intervalos marcados.

El estadístico local de salto es

\[ L_i=\frac{r_i}{\widehat{\sigma}_i}. \]

Su signo conserva la dirección del rendimiento observado; su magnitud mide el movimiento respecto de la escala local anterior. El denominador usa productos de valores absolutos adyacentes sin la constante habitual de normalización de la variación bipotencia. Bajo la aproximación asintótica sin salto del artículo, \(L_i\) es aproximadamente \(Z_i/c\), donde \(Z_i\) es normal estándar y \(c=E|Z_i|=\sqrt{2/\pi}\). Esto importa al calibrar el umbral: tratar \(L_i\) como normal estándar produce una distribución de referencia incorrecta.

Un \(|L_i|\) grande señala un intervalo candidato, no un resultado automático. El test evalúa el movimiento según el esquema de muestreo, la ventana y el número de intervalos examinados. Un estadístico positivo indica un rendimiento observado al alza y uno negativo, a la baja. Ningún signo identifica la causa económica ni distingue por sí solo entre salto, movimiento continuo o error de datos.

La figura compara un rendimiento candidato con una escala local estimada a partir de intervalos anteriores. Es conceptual; no es un gráfico de precios ni un evento detectado.

<!-- learn:illustration --> <!-- Concepto sin texto: un pulso de rendimiento marcado sobresale de una secuencia tranquila mientras una ventana retrospectiva forma una envolvente suave de volatilidad local; sin precios, horas, umbrales ni eventos detectados. -->

Al analizar \(n\) intervalos, aplicar un umbral puntual \(n\) veces puede generar falsas alarmas solo por haber buscado muchas veces. Lee–Mykland calibra el estadístico absoluto máximo del horizonte. Con \(c=\sqrt{2/\pi}\), defina

\[ C_n=\frac{\sqrt{2\log n}}{c}-\frac{\log(\pi)+\log(\log n)}{2c\sqrt{2\log n}},\qquad S_n=\frac{1}{c\sqrt{2\log n}}. \]

Bajo las condiciones asintóticas sin saltos del artículo,

\[ \frac{\max_{1\le i\le n}|L_i|-C_n}{S_n} \]

tiene una distribución límite de Gumbel estándar, con función acumulada \(F(x)=\exp(-e^{-x})\). Para un nivel de significación de sesión \(\alpha\), el valor crítico correspondiente es

\[ \beta_\alpha=-\log[-\log(1-\alpha)]. \]

Se marca un intervalo si \((|L_i|-C_n)/S_n>\beta_\alpha\). Esta calibración del máximo aborda la búsqueda entre intervalos en el horizonte indicado. No corrige automáticamente la repetición del análisis en muchos activos, días, cuadrículas o variantes del modelo; esas comparaciones adicionales requieren un diseño y una comunicación propios.

Suponga que los tres rendimientos justo anteriores al intervalo candidato son \(-0.40\%\), \(+0.30\%\) y \(-0.20\%\), y elija \(K=4\) solo para simplificar las cuentas. Entonces

\[ \widehat{\sigma}_i^2=\frac{|0.30||-0.40|+|-0.20||0.30|}{2}=0.09\;(\%)^2,\qquad \widehat{\sigma}_i=0.30\%. \]

Si el rendimiento siguiente es \(+1.20\%\), el estadístico local es \(L_i=1.20/0.30=4\). El rendimiento observado equivale a cuatro veces esta escala local ilustrativa, pero eso aún no determina un rechazo.

Para una sesión hipotética con \(n=78\) intervalos, las fórmulas asintóticas dan \(C_n\approx3.14\) y \(S_n\approx0.424\). Con significación del 1% para la sesión, \(\beta_\alpha\approx4.60\), por lo que el umbral es aproximadamente \(3.14+0.424(4.60)=5.10\). El estadístico 4 queda por debajo y no se marcaría el intervalo a ese nivel. Los números son hipotéticos y la aproximación del máximo puede ser imprecisa con este tamaño muestral. La ventana corta \(K=4\) solo ilustra el cálculo; no es una recomendación de estimación.

Por eso, decir «cuatro desviaciones estándar» no describe por completo una decisión Lee–Mykland. La escala de referencia, la normalización asintótica, la ventana, el número de intervalos y el nivel de significación influyen en el corte. Informe esos elementos junto con el recuento de saltos o la lista de eventos.

Una cuadrícula más fina mejora teóricamente la resolución temporal, pero también expone más ruido de cotización, discreción de precios y desajustes de marcas de tiempo. Una cuadrícula más gruesa suaviza parte de la variación fugaz, aunque puede combinar un salto con rendimientos continuos vecinos u ocultar varios movimientos en un mismo intervalo. La cuadrícula cambia tanto lo que el test detecta como el ajuste de sus supuestos.

La ventana \(K\) está ligada a esa cuadrícula. Muy pocos rendimientos previos vuelven errática la estimación local de bipotencia; demasiados pueden mezclar regímenes de volatilidad y diluir el significado de «local». Informe \(K\) en observaciones y tiempo de reloj, explique si se reinicia en los límites de sesión y muestre cómo cambia la lista de eventos con alternativas defendibles. No traslade una recomendación de otra frecuencia, mercado o sesión sin comprobarla.

El esquema estándar de Lee–Mykland no soluciona en general el ruido de microestructura. El prepromediado y otros procedimientos que tienen en cuenta el ruido cambian las estimaciones de rendimientos o volatilidad y requieren una inferencia compatible; no son filtros intercambiables (Aït-Sahalia, Jacod y Li, 2012). La guía de prepromediado y la guía de volatilidad de dos escalas explican dos respuestas relacionadas a los precios ruidosos de alta frecuencia.

Un rendimiento marcado indica que resulta difícil conciliar la observación con la hipótesis de trayectoria continua al umbral indicado. No confirma que el movimiento se debiera a un anuncio programado, una falla de plataforma, una cascada de liquidaciones u otra causa. Compare la hora con datos de eventos verificados, inspeccione transacciones y cotizaciones y compruebe si el movimiento persiste después del intervalo. Mantenga esas explicaciones posteriores separadas del test estadístico.

El procedimiento también difiere de comparar al cierre diario la varianza realizada con la variación bipotencia. Lee–Mykland localiza intervalos respecto de la volatilidad reciente; la brecha entre medidas diarias estima la variación agregada por saltos bajo otros supuestos. La guía de variación bipotencia y la guía de volatilidad realizada cubren esas medidas de período. El test de variación de potencias de Aït-Sahalia y Jacod usa otra construcción para probar saltos en trayectorias observadas discretamente. Sus objetivos y supuestos difieren; coincidir o discrepar con una lista Lee–Mykland no constituye una validación directa.

Para una estrategia, una etiqueta de salto es una entrada para investigación posterior, no una instrucción de compra o venta. El backtest debe considerar cuándo se conoce la señal, el spread y el deslizamiento, la latencia, ventanas de eventos solapadas y evaluación fuera de muestra. Una rentabilidad histórica marcada no demuestra que el próximo evento pueda predecirse u operarse con beneficio.