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Variación de segundo orden13 min de lectura
Variación cuadrática en finanzas
Descubre por qué sobreviven los incrementos al cuadrado, generan la corrección de Itô y conectan volatilidad de difusión con varianza realizada
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
La variación cuadrática es el límite de incrementos al cuadrado sobre particiones cada vez más finas. Es cero para trayectorias continuas de variación finita, vale t para un Browniano estándar y produce la corrección de Itô
Primero se elevan al cuadrado los incrementos
Para una partición π de [0,t], se forma Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})² y se lleva su malla a cero
Si las sumas convergen en el sentido probabilístico pertinente, el límite es la variación cuadrática [X]_t
Es acumulación sobre una trayectoria, no la misma entidad que la varianza estadística de X_t entre resultados repetidos
Las trayectorias suaves desaparecen
Una trayectoria continua de variación total finita tiene variación cuadrática cero porque los incrementos al cuadrado se desvanecen más rápido
Por eso una curva de precio diferenciable ordinaria no genera corrección de segundo orden en la regla clásica de la cadena
La variación cuadrática aísla la rugosidad que permanece cuando cada movimiento de primer orden se vuelve diminuto
La rugosidad browniana sobrevive a toda escala
El Browniano estándar tiene variación total infinita en cualquier intervalo no trivial, pero satisface [W]_t = t
En términos heurísticos, hay cerca de 1/Δt incrementos cuyo tamaño cuadrado ronda Δt, de modo que la suma no desaparece
Es una relación límite, no la afirmación puntual de que existe dW/dt o de que cada incremento cuadrado equivale a dt
La covariación registra rugosidad conjunta
La covariación cuadrática [X,Y] suma productos ΔX·ΔY sobre particiones finas
La polarización [X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y]) enlaza la variación conjunta con las variaciones individuales
Con Brownianos correlacionados, la covariación lleva la dependencia instantánea a carteras y fórmulas de Itô multivariantes
La fórmula de Itô conserva el segundo orden
Para dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t, la variación cuadrática continua es [X]_t = ∫_0^t σ_s² ds
El desarrollo de Taylor conserva 1/2 f''(X_t)d[X]_t porque los incrementos estocásticos cuadrados se acumulan
Esta corrección genera ecuaciones de valoración por difusión y diferencia el cálculo estocástico del ordinario
Los saltos añaden su tamaño al cuadrado
En una semimartingala con saltos, la variación cuadrática incluye la variación martingala continua más Σ_{s≤t}(ΔX_s)²
Un salto grande puede dominar el movimiento cuadrático diario aunque la volatilidad continua haya sido modesta
Hay que separar variación continua, saltos y deriva de variación finita cuando la pregunta económica distingue sus causas
La varianza realizada es un estimador
La varianza realizada de alta frecuencia suma retornos intradía al cuadrado para aproximar la variación cuadrática latente
Muestrear poco omite movimientos; hacerlo demasiado magnifica rebote bid–ask, discreción de precios, cotizaciones asíncronas y datos erróneos
Compara frecuencias, trata saltos, alinea horarios y define el retorno antes de interpretar la estimación como volatilidad
Preguntas frecuentes
¿Qué es la variación cuadrática en términos sencillos?
Es el movimiento que queda al elevar al cuadrado muchos cambios diminutos y sumarlos sobre una malla temporal cada vez más fina
¿Por qué vale t para el movimiento browniano?
Los incrementos de longitud Δt tienen escala cuadrada Δt y aproximadamente t/Δt incrementos se acumulan hasta t
¿Es lo mismo que volatilidad?
No. En una difusión equivale a varianza integrada; volatilidad suele ser su tasa instantánea o una raíz normalizada
¿Cómo afectan los saltos?
Cada salto aporta su tamaño al cuadrado, por lo que incluye variación martingala continua y variación discreta de saltos
Fuentes
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