Semivarianza realizada: medir por separado la volatilidad alcista y bajista

Sean \(r_i\) los rendimientos logarítmicos intradía observados en un intervalo fijo. La varianza realizada es la suma de los rendimientos al cuadrado, \(RV=\sum_i r_i^2\). Al elevarlos al cuadrado, ganancias y pérdidas quedan positivas y los movimientos grandes pesan más. La estadística mide la variación acumulada en el intervalo, pero no indica si provino de movimientos al alza o a la baja.

La semivarianza realizada conserva el signo antes de elevar al cuadrado. El componente positivo suma los cuadrados de rendimientos mayores que cero, y el negativo los de rendimientos menores que cero. Si se usan las mismas observaciones y convenciones, ambos suman la varianza realizada. Un rendimiento igual a cero no aporta a ninguno. Esta igualdad es una identidad contable, no una prueba de que cada componente sea una fuente causal independiente de riesgo.

La separación es útil si la pregunta de investigación trata la variación direccional, por ejemplo, si la variación pasada de rendimientos negativos contiene información distinta sobre la volatilidad futura que la variación de rendimientos positivos. Barndorff-Nielsen, Kinnebrock y Shephard propusieron la semivarianza realizada como medida de alta frecuencia de la variación bajista. Su documento de trabajo desarrolla la relación con la variación cuadrática y los saltos negativos.

Para rendimientos \(r_1,\ldots,r_n\), define:

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

donde \(\mathbf{1}(\cdot)\) vale uno cuando se cumple la condición y cero en caso contrario. Entonces:

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

Algunos trabajos usan etiquetas o superíndices diferentes; el informe debe indicar cuál término corresponde a rendimientos positivos y cuál a negativos. La fórmula usa rendimientos sin centrar respecto de cero: no resta la media muestral, un rendimiento objetivo ni la tasa libre de riesgo. La semivarianza calculada alrededor de un objetivo o de la media es otra estadística.

Las unidades son unidades de rendimiento al cuadrado. Si los rendimientos se expresan en puntos básicos, cada componente queda en \(\text{bp}^2\); si se usan rendimientos logarítmicos decimales, queda en rendimiento decimal al cuadrado. Pasar de rendimientos porcentuales a puntos básicos multiplica por 10.000 el valor numérico de la medida al cuadrado. Por eso, la unidad debe acompañar al número.

Supón que una sesión hipotética tiene seis rendimientos en puntos básicos:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

Los rendimientos positivos aportan \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\). Los negativos aportan \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\). El rendimiento cero no aporta nada. Por tanto, la varianza realizada es

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

En este pequeño ejemplo, la parte negativa representa \(21/34\), aproximadamente 61,8%, y la positiva cerca de 38,2%. Son proporciones de una suma inventada, no probabilidades de una pérdida futura ni estimaciones de una asimetría estable a largo plazo. Seis rendimientos no bastan para hacer inferencia. El cálculo solo comprueba las definiciones.

La guía de volatilidad realizada explica la suma no dividida de rendimientos al cuadrado. La guía de variación bipower aborda otra pregunta: estimar variación continua cuando puede haber saltos infrecuentes. Se pueden estudiar juntas la semivarianza direccional y la variación robusta a saltos, pero una no sustituye a la otra.

Si el logaritmo del precio latente sigue un semimartingala continuo y el muestreo se vuelve cada vez más fino bajo las condiciones de regularidad pertinentes, las semivarianzas de rendimientos positivos y negativos convergen cada una a la mitad de la variación cuadrática continua. En ese contexto, los totales de una muestra finita pueden diferir aunque la variación continua subyacente no tenga una separación direccional persistente; la aleatoriedad del muestreo importa.

Cuando hay saltos, el cuadrado del tamaño de cada salto se asigna al componente positivo o negativo según su signo. Así se conserva información que la varianza realizada total descarta, pero eso no significa que todo rendimiento negativo sea un salto ni que todo rendimiento positivo sea inocuo. Tanto un movimiento continuo grande como un salto pueden producir un rendimiento al cuadrado elevado. El signo clasifica el incremento observado; no identifica su causa económica.

La figura conceptual siguiente separa los incrementos positivos y negativos en dos grupos visuales. No es una gráfica de datos, un resultado de prueba ni una afirmación de que el proceso subyacente tenga un sesgo direccional persistente.

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

Las semivarianzas realizadas pueden usarse como predictores separados en un modelo de volatilidad futura. En su estudio del S&P 500 y de acciones individuales, Patton y Sheppard encontraron que, en sus muestras y especificaciones, la variación pasada de rendimientos negativos se relacionaba con más fuerza con la volatilidad futura que la variación de rendimientos positivos. Es un resultado empírico de ese diseño, no una ley universal de mercado ni una garantía de que una estrategia nueva vaya a pronosticar bien.

Para afirmar que hay capacidad predictiva, especifica el objetivo y el horizonte, compara con un benchmark apropiado y evalúa fuera de muestra. La diferencia entre \(RS^-\) y \(RS^+\) de un día es descriptiva; no demuestra poder predictivo. La regresión quizá también deba considerar persistencia de la volatilidad, horizontes superpuestos, incertidumbre de parámetros y selección de datos. Los errores de pronóstico deben evaluarse con una función de pérdida acorde con la decisión.

Como extensión multivariante, Bollerslev, Li, Patton y Quaedvlieg desarrollan semicovarianzas realizadas que descomponen la covarianza realizada según los signos de pares de rendimientos de alta frecuencia. Su artículo de Econometrica explica por qué los componentes de signos coincidentes y mixtos pueden contener información distinta. La división univariante entre positivo y negativo es más sencilla y no debe presentarse como una descomposición completa de covarianza o riesgo de cartera.

La expresión “semivarianza bajista” se usa con más de una definición. La medida realizada de este artículo eleva al cuadrado los rendimientos de alta frecuencia por debajo de cero. Una estadística bajista basada en un objetivo eleva al cuadrado los rendimientos por debajo de un umbral elegido, a menudo un objetivo o rendimiento mínimo aceptable. Un cálculo muestral también puede centrar las observaciones alrededor de la media. Son definiciones que responden a preguntas distintas y pueden dar valores distintos para la misma serie.

Ninguna de las dos semivarianzas realizadas es Value-at-Risk ni Expected Shortfall. VaR describe un cuantil de una distribución de pérdidas y un horizonte especificados; Expected Shortfall resume las pérdidas que exceden un cuantil bajo una convención determinada. La suma de rendimientos intradía negativos al cuadrado no tiene ninguna de esas interpretaciones. Tampoco mide por completo la caída máxima, que depende del orden y la trayectoria de los rendimientos.

Si una gráfica o modelo llama “riesgo bajista” a \(RS^-\), define el término justo al lado. Indica si los rendimientos se miden desde cero o desde un objetivo, qué frecuencia de muestreo se usa y si la cantidad es una estadística de intervalo, una entrada para pronóstico o una medida de cartera. La guía de volatilidad GARCH trata la dinámica de la varianza condicional; la semivarianza realizada aporta una medición direccional de alta frecuencia que podría considerarse como entrada.

La división por signo depende de la serie de rendimientos observada. Muestrear con más frecuencia puede introducir rebote bid-ask, discreción de precios, cotizaciones obsoletas y efectos de marcas de tiempo. Un pequeño cambio de precio registrado puede invertir su signo si cambia el proxy o la cuadrícula de muestreo. El ruido de microestructura puede modificar tanto el tamaño al cuadrado como el lado al que se asigna el rendimiento. La identidad \(RV=RS^++RS^-\) sigue siendo válida para la serie elegida, pero no valida el diseño de muestreo.

Para una comparación robusta, documenta el campo de precio, intervalo de muestreo, límites de sesión, tratamiento de rendimientos cero, reglas de valores atípicos y sincronía de los rendimientos entre activos. Comprueba la sensibilidad con opciones de muestreo defendibles. Si la cuestión central es identificar saltos o resistir el ruido, usa un estimador o una prueba diseñados para ese objetivo, en lugar de interpretar la separación por signo como una corrección. La guía de volatilidad realizada de dos escalas explica una alternativa para corregir ruido.

La inferencia estadística también necesita una distribución muestral o un diseño de remuestreo adecuado. Los componentes positivo y negativo provienen de la misma trayectoria y pueden depender entre sí. Las ventanas superpuestas pueden añadir más dependencia. Un intervalo de confianza o una comparación de pronósticos debe reflejar estas características; comparar dos estimaciones puntuales no prueba que sus funciones predictivas sean distintas.

Un informe claro identifica la serie de rendimientos del activo o cartera, el período observado, la definición de rendimiento, la cuadrícula de muestreo y las unidades. Incluye las fórmulas de \(RS^+\) y \(RS^-\), confirma que su suma reproduce la varianza realizada y explica cómo se trataron los ceros y los datos ausentes. Si la medida forma parte de un modelo de pronóstico, informa el horizonte, benchmark, período de evaluación y función de pérdida.

No conviertas directamente la semivarianza realizada en volatilidad anualizada sin indicar los supuestos de agregación. Se pueden sumar semivarianzas diarias para obtener un total anual descriptivo bajo una convención elegida, pero su raíz cuadrada no es automáticamente una desviación estándar bajista con distribución conocida. Anualizar no corrige precios sesgados, muestreo escaso ni efectos de selección.

El uso principal es medir con disciplina: conservar la dirección de cada rendimiento observado y mantener la ponderación cuadrática de la variación realizada. El resultado puede revelar un patrón que merezca estudiarse. Por sí solo no identifica su causa, mide probabilidades de cola ni convierte una asimetría histórica en una señal de trading.