Volatilidad realizada de dos escalas: estimar la varianza con ruido de microestructura

La varianza realizada suele calcularse sumando rendimientos al cuadrado. Si los logaritmos de los precios observados siguieran el precio eficiente sin error, más observaciones permitirían captar mejor su trayectoria. Sin embargo, los precios de transacción y las cotizaciones reales también reflejan el rebote del diferencial comprador-vendedor, la discreción de precios, la latencia y otros efectos de microestructura. En intervalos muy cortos, esos efectos pueden superar el movimiento del precio eficiente entre observaciones.

Por eso la varianza realizada ingenua puede aumentar al observar con más frecuencia aunque la varianza integrada subyacente de la sesión no haya cambiado. Eso no demuestra que haya aumentado la volatilidad económica del activo: puede deberse a elevar al cuadrado diferencias de precios ruidosas y sumarlas muchas veces. La guía de cálculo de volatilidad realizada explica la suma ordinaria de rendimientos al cuadrado; este artículo aborda una fuente concreta de sesgo en datos de alta frecuencia.

Zhang, Mykland y Aït-Sahalia propusieron TSRV para usar dos resoluciones con fines distintos (estudio original de las dos escalas). Una rejilla dispersa reduce el número de incrementos contaminados por ruido. Promediar varias rejillas dispersas con distintos puntos de inicio evita depender de uno arbitrario. La rejilla fina completa proporciona una estimación escalada del sesgo de ruido que se resta. El razonamiento depende de supuestos y decisiones de muestra finita; el resultado es un estimador con incertidumbre, no una observación sin ruido de la trayectoria latente.

Sea \(X_t\) el logaritmo latente del precio eficiente, modelado en la ventana mediante un proceso continuo con tasa local de varianza \(\sigma_t^2\). El objetivo es su varianza integrada:

\[ IV_T=\int_0^T\sigma_t^2\,dt. \]

Supongamos que el logaritmo del precio registrado en el instante \(t_i\) es

\[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \]

donde \(\epsilon_{t_i}\) es el ruido de observación. La derivación clásica parte de un modelo en que el ruido tiene media cero, es independiente entre instantes y del proceso del precio eficiente, y posee varianza constante \(\omega^2\). También presupone un muestreo regular y un modelo continuo adecuado para el precio eficiente en la ventana. Son condiciones de modelización, no una descripción universal de los datos de mercado.

El incremento observado es \(\Delta Y_i=\Delta X_i+\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\). El error de una observación entra con signos opuestos en dos rendimientos contiguos: un error positivo eleva uno y reduce el siguiente. Por eso los rendimientos construidos con precios ruidosos no se comportan como errores de medición independientes. La guía sobre variación cuadrática en finanzas explica por qué las sumas de incrementos al cuadrado apuntan a la variación de la trayectoria sin ruido.

Aquí se estima la varianza durante una ventana concreta. No es una estimación del diferencial comprador-vendedor, una previsión ni un coste de ejecución realizado. Para otra pregunta sobre precios de transacción, consulte el estimador de Roll del diferencial comprador-vendedor. Conviene identificar claramente el objetivo: varios métodos de microestructura usan precios de alta frecuencia, pero estiman cantidades distintas.

Con \(n\) rendimientos de la rejilla fina, defina la varianza realizada completa:

\[ RV_{\mathrm{all}}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2. \]

En el modelo de referencia, el componente de ruido de un rendimiento observado es \(\eta_i=\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\), cuya varianza es \(\operatorname{Var}(\eta_i)=2\omega^2\). Si se omiten los términos cruzados de esperanza cero bajo los supuestos de independencia, la esperanza de la suma fina es aproximadamente

\[ E[RV_{\mathrm{all}}]\approx IV_T+2n\omega^2. \]

El primer término es la varianza integrada buscada. El segundo acumula una aportación de ruido por cada rendimiento fino. Al reducirse el intervalo de muestreo y aumentar \(n\), el término de ruido puede dominar. Por ello, «muestrear con la máxima frecuencia posible» no es una regla segura si se ignora el ruido de medición. Aït-Sahalia, Mykland y Zhang estudian el intervalo finito óptimo de muestreo con ruido de microestructura.

La aproximación describe una esperanza bajo un modelo. Una muestra concreta también contiene términos cruzados aleatorios entre incrementos del precio eficiente y del ruido, así que el valor realizado puede diferir de la esperanza. Si la varianza del ruido cambia durante la sesión, los errores son serialmente dependientes o el muestreo es irregular, \(2n\omega^2\) puede no describir el sesgo. En ese caso una fórmula conocida puede dar una cifra aparentemente precisa que corrige el componente equivocado.

Elija un entero \(K>1\). Para cada desplazamiento \(k=0,\ldots,K-1\), calcule la varianza realizada de una rejilla dispersa usando uno de cada \(K\) precios observados:

\[ RV_{K,k}=\sum_j\left(Y_{t_{k+jK}}-Y_{t_{k+(j-1)K}}\right)^2. \]

Cada incremento disperso cubre un intervalo más largo, pero la rejilla sigue abarcando aproximadamente la misma ventana de observación. Promedie los desplazamientos disponibles:

\[ \overline{RV}_K=\frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}RV_{K,k}. \]

Los desplazamientos importan. Una única rejilla dispersa puede empezar justo antes o después de un movimiento grande y depender de esa elección. Promediar rejillas desplazadas reduce esa sensibilidad al punto de inicio. No crea \(K\) conjuntos de datos independientes: las rejillas reutilizan observaciones y son estadísticamente dependientes.

Con ruido de observación independiente y de igual varianza, la diferencia entre los ruidos de los extremos de un incremento disperso conserva varianza \(2\omega^2\), porque son observaciones distintas. Pero hay menos rendimientos dispersos que finos, por lo que se acumula menos sesgo de ruido en el promedio. La contribución de señal sigue aproximándose a la varianza integrada porque los incrementos dispersos cubren la ventana, no solo una fracción.

La ilustración de este artículo es conceptual: compara una trayectoria observada irregular con varias vistas dispersas y desplazadas alrededor de una trayectoria latente más suave. No representa datos de mercado ni el resultado de un estimador. Para estimadores basados en máximos y mínimos, consulte la guía de estimadores de volatilidad basados en rangos OHLC.

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Sea \(\bar n\) el número medio de rendimientos dispersos entre las rejillas desplazadas y defina \(\lambda=\bar n/n\). Bajo el modelo de referencia, el sesgo de ruido del promedio disperso es aproximadamente \(2\bar n\omega^2\). El sesgo de la rejilla fina es aproximadamente \(2n\omega^2\), así que \(\lambda RV_{\mathrm{all}}\) aporta aproximadamente \(2\bar n\omega^2\). Al restarlo se cancela el término principal de ruido:

\[ TSRV_{\mathrm{raw}}=\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}. \]

Esta diferencia sin normalizar también resta una fracción \(\lambda\) de la señal de varianza integrada, ya que ambos términos contienen señal. Por eso es habitual aplicar la normalización de muestra finita

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}}{1-\lambda}. \]

El denominador restablece el coeficiente de señal en el cálculo simplificado de la esperanza. Las convenciones y el tratamiento de los extremos varían según la implementación; documente la definición de \(n\), el conjunto de desplazamientos y el cálculo de \(\bar n\). Esta corrección no elimina la incertidumbre muestral ni arregla un modelo de ruido mal especificado. En el marco asintótico clásico, \(\lambda\) disminuye al crecer la muestra, aunque el factor puede importar en una ventana corta.

La estimación puede ser negativa cuando \(\overline{RV}_K<\lambda RV_{\mathrm{all}}\). No significa que la variación física sea negativa, sino que la resta de ruido supera la estimación dispersa en una muestra finita. Sustituirla por cero para mostrarla aguas abajo cambia el estimador y añade una regla de truncamiento. Conserve el valor sin truncar durante el análisis, revise las escalas y los supuestos, y declare cualquier truncamiento posterior.

Suponga que siete logaritmos hipotéticos de precios observados generan seis rendimientos finos en puntos básicos: \([1,1,-1,-1,1,1]\) bp. Esta pequeña secuencia solo ilustra la aritmética; no son datos de una bolsa. La varianza realizada de la rejilla fina es

\[ RV_{\mathrm{all}}=1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Fije \(K=2\). El primer desplazamiento agrupa rendimientos contiguos y produce los rendimientos dispersos \([2,-2,2]\) bp, cuya suma de cuadrados es \(4+4+4=12\,\mathrm{bp}^2\). El desplazamiento siguiente produce \([0,0]\) bp, con suma de cuadrados cero. El promedio de ambas rejillas es \(\overline{RV}_K=(12+0)/2=6\,\mathrm{bp}^2\).

Con seis rendimientos finos y esos dos desplazamientos, el número medio de rendimientos dispersos es \(\bar n=(3+2)/2=2{,}5\). Por tanto, \(\lambda=2{,}5/6=5/12\), y

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{6-(5/12)6}{1-5/12}=\frac{3{,}5}{7/12}=6\,\mathrm{bp}^2. \]

La estimación de varianza es \(6\,\mathrm{bp}^2=6\times10^{-8}\) en unidades de rendimiento decimal al cuadrado. Su raíz es aproximadamente \(2{,}45\) bp para esta ventana hipotética; no está anualizada. Que en esta secuencia construida coincida numéricamente con la RV fina no es una identidad de TSRV. Otras trayectorias pueden dar una estimación mayor, menor o incluso negativa.

El cálculo también muestra una limitación del modelo: como la trayectoria latente y el ruido no se observan por separado, esta muestra no demuestra que \(6\,\mathrm{bp}^2\) sea la varianza integrada real. Se pueden auditar las sumas, la escala y las unidades, pero no inferir la descomposición oculta a partir del ejemplo. La literatura también estudia métodos como realized kernels para corregir ruido de alta frecuencia; tienen sus propios supuestos y decisiones de implementación.

\(K\) equilibra el número de rendimientos dispersos, el promedio y la corrección de ruido. Si es demasiado pequeño, quedan muchos incrementos cortos y la estimación puede seguir siendo sensible al ruido. Si es demasiado grande, quedan pocos rendimientos gruesos y la estimación se vuelve inestable y más expuesta a efectos de ventana finita. Promediar desplazamientos ayuda con la alineación, pero no crea información que falte en una muestra breve o de mala calidad.

En el análisis asintótico original, el espaciamiento disperso preferido crece con el tamaño de la muestra; bajo la notación y condiciones de referencia de aquel trabajo, su orden es \(n^{2/3}\) (análisis original). Es una relación teórica, no una instrucción universal para usar un número concreto de segundos u observaciones. El óptimo depende de la relación entre ruido y señal y de los supuestos; trabajos posteriores e implementaciones prácticas pueden usar otras reglas de ajuste y convenciones para los extremos. Informe el intervalo de muestreo, \(K\), los desplazamientos, los límites de la sesión y la normalización para que otra persona pueda reproducir la estimación.

Un análisis defendible puede comparar de antemano varios valores plausibles de \(K\) y mostrar su sensibilidad, en lugar de escoger después el ajuste que dé el resultado más atractivo. Si las estimaciones cambian de forma importante, esa inestabilidad forma parte del hallazgo. Elija la escala según el diseño de datos y una regla documentada antes de ver el resultado deseado. Puede comparar con una varianza realizada más gruesa o con una alternativa robusta al ruido, pero identifique cada medida por separado.

La corrección clásica se deriva para una estructura de ruido concreta. El rebote del diferencial y otros efectos de microestructura pueden presentar dependencia serial, variar durante la sesión, depender de la liquidez o correlacionarse con los incrementos del precio eficiente. Hansen y Lunde documentan que la interacción entre varianza realizada y ruido puede incluir dependencia temporal y correlación con cambios del precio eficiente (su estudio). Más adelante, Aït-Sahalia, Mykland y Zhang desarrollaron métodos de dos escalas con ruido de microestructura dependiente. Esa extensión obliga a distinguir el estimador modificado de la fórmula original con ruido iid; no demuestra que la fórmula original cubra cualquier dependencia.

Otros problemas prácticos incluyen horarios irregulares, activos observados de forma asíncrona, cotizaciones obsoletas, discreción de precios, saltos, operaciones erróneas, efectos de apertura y cierre y observaciones ausentes. Pueden afectar tanto a la corrección fina como a los rendimientos incluidos en las rejillas dispersas. Según la pregunta de investigación, los saltos pueden pertenecer a la variación cuadrática objetivo o requerir separación; TSRV no decide esa elección. Filtrar observaciones también cambia la rejilla y debe documentarse.

La robustez al ruido no equivale a inmunidad ante todos los problemas de datos. Antes de interpretar el resultado como medida de varianza latente, determine si usa precios de transacción, cotizaciones o puntos medios; especifique la transformación de rendimientos y el reloj; compruebe la regularidad de los intervalos; registre la limpieza, las reglas de sesión y la sensibilidad a \(K\). Si el proceso de ruido incumple los supuestos de referencia, utilice un método diseñado para ese caso y explique sus condiciones. No describa una estimación negativa como volatilidad negativa ni la convierta silenciosamente en un valor positivo.

Un informe transparente indica la ventana objetivo, la serie de precios, el intervalo de muestreo, el número de rendimientos finos, el espaciamiento \(K\), los desplazamientos, la regla para los extremos, los supuestos de ruido, la normalización, las unidades y cualquier truncamiento. Puede presentar tanto la diferencia sin normalizar como la estimación normalizada, junto con un rango de sensibilidad para escalas definidas previamente. Así se puede auditar el cálculo y se evita confundir una estimación de varianza con una cotización, una previsión o una prueba de una regla rentable.

La varianza integrada se mide en la ventana observada. Anualizarla exige especificar la convención temporal y no debería ocultar patrones intradía, intervalos nocturnos o interrupciones de negociación. La raíz cuadrada expresa volatilidad para esa ventana, pero no crea un horizonte predictivo. Una medida histórica puede ser una entrada de un modelo; el rendimiento predictivo debe evaluarse aparte con datos no utilizados para elegir la configuración del estimador.

La contribución de TSRV es metodológica: bajo un modelo explícito de ruido aditivo, combina dos escalas para reducir el sesgo principal que vuelve inconsistente la varianza realizada ingenua de alta frecuencia. No identifica el origen de cada movimiento, no elimina el riesgo de modelo ni revela la volatilidad siguiente. Acompañe la cifra con esos límites.