Variación bipotencia: volatilidad realizada robusta a saltos, explicada

La varianza realizada de alta frecuencia suma los rendimientos logarítmicos intradía al cuadrado. Si el intervalo de muestreo se hace más pequeño bajo un modelo semimartingala adecuado, RV converge a la variación cuadrática. Cuando la trayectoria del precio combina difusión continua y saltos, ese límite incluye tanto la varianza integrada como la suma de los saltos al cuadrado. RV mide, por tanto, la variación total ex post, pero por sí sola no revela qué parte provino del movimiento continuo y cuál de las discontinuidades.

La variación bipotencia cambia el elemento básico: en lugar de elevar al cuadrado un rendimiento, multiplica los valores absolutos de dos rendimientos vecinos. En el modelo límite, un salto aislado suele afectar a un intervalo de rendimiento, mientras que el rendimiento adyacente es normalmente un pequeño incremento de difusión. Al refinar la cuadrícula, el producto que incluye el salto y su vecino se reduce; los productos de rendimientos de difusión contiguos siguen acumulando la variación continua. Barndorff-Nielsen y Shephard introdujeron el uso de variación de potencia y bipotencia para separar la varianza integrada de la variación por saltos poco frecuentes bajo modelos especificados (Barndorff-Nielsen & Shephard, 2004).

El objetivo es la varianza integrada histórica \(\int_0^T \sigma_t^2\,dt\), no una predicción de la volatilidad del próximo período. La guía de cálculo de volatilidad realizada explica la medida basada en rendimientos al cuadrado; aquí se explica por qué los productos de valores absolutos adyacentes responden de otra manera a los saltos.

Consideremos un proceso de precios logarítmicos durante una ventana fija:

\[ X_t=X_0+\int_0^t b_s\,ds+\int_0^t \sigma_s\,dW_s+J_t, \]

donde el primer término después de \(X_0\) es una deriva de variación finita, \(\sigma_t\) es la volatilidad instantánea de la difusión y \(J_t\) es un componente de saltos. La variación cuadrática del proceso se descompone como

\[ [X]_T=\int_0^T \sigma_t^2\,dt+\sum_{0<t\leq T}(\Delta X_t)^2, \]

con \(\Delta X_t=X_t-X_{t-}\). El primer componente es la varianza integrada continua y el segundo, la variación por saltos. Cada salto contribuye con su magnitud al cuadrado, sea positivo o negativo. La guía sobre variación cuadrática en finanzas explica por qué esta cantidad de trayectoria difiere de la varianza de un conjunto de precios estáticos.

Con \(n\) rendimientos logarítmicos intradía \(r_i=X_{i\Delta}-X_{(i-1)\Delta}\), donde \(\Delta=T/n\), la varianza realizada es

\[ RV_n=\sum_{i=1}^{n}r_i^2. \]

A medida que se acortan los intervalos bajo las condiciones habituales de semimartingala, \(RV_n\) estima toda la variación cuadrática, incluidos los saltos. Por eso, un informe que llame a RV «volatilidad continua» sin suponer que no hay saltos mezcla dos objetivos distintos.

Sea \(Z\) una variable normal estándar y \(\mu_1=E|Z|=\sqrt{2/\pi}\). Una convención común para la variación bipotencia realizada es

\[ BV_n=\mu_1^{-2}\frac{n}{n-1}\sum_{i=2}^{n}|r_i||r_{i-1}| =\frac{\pi}{2}\frac{n}{n-1}\sum_{i=2}^{n}|r_i||r_{i-1}|. \]

El factor \(\pi/2\) normaliza el producto de incrementos gaussianos absolutos a la escala de la varianza continua. El factor \(n/(n-1)\) es una corrección de extremos para muestras pequeñas que se emplea en una convención común; algunas definiciones lo omiten porque tiende a uno cuando \(n\) crece. Indique la convención al comparar resultados.

La suma utiliza pares adyacentes solapados: el rendimiento 2 se empareja con el 1, el 3 con el 2, y así sucesivamente. No clasifica cada observación como «salto» o «sin salto». El resultado asintótico se basa en que, con saltos de actividad finita, solo un número finito de vecindades pequeñas contiene un salto cuando se refina la cuadrícula, mientras que los productos de rendimientos de difusión vecinos generan el límite de varianza integrada continua. Bajo sus supuestos, los teoremas límite permiten un comportamiento amplio de la volatilidad estocástica, incluida la dependencia tipo apalancamiento (Barndorff-Nielsen et al., 2006).

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Supongamos que una sesión hipotética tiene siete rendimientos logarítmicos expresados en puntos básicos:

Supongamos que el cuarto rendimiento contiene un salto hipotético de \(+12\) puntos básicos y que el movimiento continuo en ese intervalo es insignificante. Entonces,

\[ RV_7=1+1+0.01+144+0.01+1+1=148.02\ \mathrm{bp}^2. \]

La suma de los seis productos de valores absolutos adyacentes es \(4.60\ \mathrm{bp}^2\), por lo que la convención con corrección de extremos indicada da

\[ BV_7=\frac{\pi}{2}\frac{7}{6}(4.60)\approx 8.42994\ \mathrm{bp}^2, \qquad RV_7-BV_7\approx139.59006\ \mathrm{bp}^2. \]

El cuadrado del salto introducido es \(12^2=144\ \mathrm{bp}^2\). La diferencia no es exactamente 144: los productos vecinos al salto incluyen términos \(12\times0.1\), y una muestra de siete rendimientos también presenta variación ordinaria de muestra finita. Este pequeño ejemplo inventado permite comprobar la aritmética; no son datos de mercado observados ni afirma que la diferencia en una ventana corta recupere con precisión la variación por saltos.

El resultado estándar de consistencia es condicional. En una semimartingala con volatilidad estocástica continua y un número finito de saltos en la ventana, BV converge a la varianza integrada continua si se muestrea a intervalos cada vez menores y sin ruido de microestructura. En el mismo marco, \(RV_n-BV_n\) converge a la suma de los saltos al cuadrado. Es una separación asintótica, no una garantía para toda serie de rendimientos o cuadrícula finita.

La actividad finita es una condición importante. Con muchos saltos pequeños o actividad infinita, la variación por saltos puede contribuir de forma no despreciable a los productos absolutos adyacentes; el resultado estándar de BV puede dejar de aislar solo el componente browniano. Pueden necesitarse extensiones, truncamiento u otras pruebas de saltos, cada una con sus propias hipótesis. Aït-Sahalia y Jacod desarrollan una prueba de saltos de alta frecuencia distinta y aplicable a una clase más amplia de procesos semimartingala; es un marco alternativo de contraste, no una demostración de que BV ordinaria maneja cualquier proceso con saltos (Aït-Sahalia & Jacod, 2009).

También importa el diseño de observación. Los rendimientos deben corresponder a una ventana común y a una serie de precios defendible. Los intervalos espaciados, las cotizaciones obsoletas, la negociación asíncrona, los huecos nocturnos y los saltos cerca de los límites de sesión debilitan la interpretación de una cuadrícula fina. Muestrear con mayor frecuencia solo ayuda si las observaciones se acercan al precio eficiente latente en vez de añadir más ruido de microestructura.

Bajo el modelo asintótico sin ruido y con saltos de actividad finita, RV menos BV estima la variación por saltos. En una muestra finita, la diferencia puede ser negativa, aunque la suma de saltos al cuadrado no pueda serlo. Esto ocurre porque RV y BV son estimadores ruidosos de límites distintos. No convierta silenciosamente los valores negativos en cero: truncarlos cambia el comportamiento muestral del estimador y debe declararse como una regla explícita.

Una prueba estadística plantea otra pregunta: ¿es la brecha observada grande en relación con su incertidumbre muestral bajo una hipótesis nula sin saltos? Barndorff-Nielsen y Shephard derivan pruebas asintóticas basadas en variación de potencia realizada y variación bipotencia. Las versiones factibles estiman la cuarticidad pertinente, a menudo con medidas multipotencia, en vez de tratar la diferencia bruta como umbral de significación (Barndorff-Nielsen & Shephard, 2006). Posteriormente se desarrolló la variación bipotencia con umbral para reducir la distorsión de los saltos en muestras finitas y apoyar la inferencia bajo alternativas con saltos (Corsi, Pirino & Reno, 2010).

Un salto detectado sigue siendo una clasificación estadística basada en un modelo, una frecuencia de muestreo y un nivel de significación elegidos. No identifica una causa informativa, no demuestra que un operador pudiera ejecutar al precio registrado ni acredita una estrategia rentable.

La BV clásica no es un estimador de alta frecuencia robusto al ruido. Si el precio observado es \(Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}\), el rebote entre bid y ask, el redondeo y las actualizaciones de cotización añaden ruido a cada rendimiento. Como BV multiplica los valores absolutos de rendimientos adyacentes, el ruido no desaparece solo porque la fórmula use productos vecinos. Con un muestreo muy fino, su contribución incluso puede ganar importancia.

Este es un problema distinto de los saltos. Los núcleos realizados y la varianza realizada de dos escalas abordan la estimación de volatilidad con ruido de microestructura mediante construcciones diferentes; no son intercambiables con BV ordinaria, y ser robusto al ruido no implica ser robusto a saltos. La guía de núcleos realizados explica uno de esos métodos centrados en el ruido.

Si la pregunta de investigación exige tratar ruido y saltos a la vez, utilice un método derivado para ambas características y declare sus condiciones. Podolskij y Vetter desarrollan una variación bipotencia modulada para observaciones con ruido y versiones robustas a saltos de actividad finita; es un estimador modificado, no la fórmula sin ajustar anterior (Podolskij & Vetter, 2009). Entre las alternativas prácticas figuran muestrear con menor frecuencia, prepromediar, usar medidas con umbral o aplicar un estimador robusto al ruido. Cada opción cambia la cantidad objetivo, los parámetros de ajuste o el cálculo de incertidumbre.

Cuando se cumplen sus supuestos, BV estima un componente histórico de la varianza integrada continua. RV estima la variación cuadrática total de una trayectoria con saltos. Su diferencia puede estimar asintóticamente la variación cuadrática por saltos. Ninguna de estas cantidades es automáticamente una previsión, un límite de riesgo o una señal de entrada. Un modelo de predicción puede usar RV y BV pasadas como predictores separados, pero el valor predictivo debe evaluarse fuera de muestra controlando la disponibilidad de la información y los costes de negociación.

La raíz cuadrada de una estimación de varianza solo es una medida de volatilidad cuando se especifican su ventana y sus unidades. Si los rendimientos se expresan en puntos básicos, la varianza se mide en bp² y su raíz en bp para la ventana muestreada. Anualizar requiere un supuesto explícito sobre la escala temporal; multiplicar por un factor de calendario no elimina saltos, ruido de microestructura ni decisiones sobre la medición nocturna. La guía de riesgo de saltos explica por qué los cambios discontinuos también afectan a la exposición de cobertura, pero no convierte una descomposición histórica de BV en una instrucción de negociación.

Indique el activo, la fuente de precios (transacciones, cotizaciones o punto medio), la definición del rendimiento, la frecuencia de muestreo, los límites de la sesión y el tratamiento de intervalos nocturnos y observaciones ausentes. Informe las fórmulas de RV y BV, la convención de normalización para muestras finitas, el número de rendimientos y las unidades. Si calcula \(RV-BV\), muestre la diferencia sin modificar e indique si aplicó algún umbral, truncamiento o recorte a valores no negativos.

Explique qué modelo respalda la interpretación: volatilidad estocástica continua con saltos de actividad finita, o un modelo de saltos más amplio con otro estimador. Declare cualquier corrección por ruido de microestructura, estadístico de contraste de saltos, estimación de cuarticidad, nivel de significación y ajuste por pruebas múltiples. Presente junto a la descomposición una medida de incertidumbre.

La utilidad de la variación bipotencia es que los productos de valores absolutos adyacentes conservan un límite para la variación continua y reducen el efecto asintótico de saltos aislados de actividad finita. Sus límites deben acompañarla: la fórmula estándar no es un filtro universal de saltos, una prueba de significación ni una corrección del ruido de microestructura. Mantenga estas condiciones visibles al usarla en investigación o análisis de riesgos.