ADF frente a Phillips–Perron: diferencias entre las pruebas de raíz unitaria

En una ecuación autorregresiva en niveles, una raíz unitaria implica que un choque puede no desaparecer del nivel. Al expresar la primera diferencia como una regresión sobre el nivel rezagado, la hipótesis queda clara: si el coeficiente del nivel rezagado es cero, el proceso en niveles tiene una raíz igual a uno bajo el modelo especificado. Un coeficiente negativo apunta hacia una alternativa estacionaria, condicionada a los términos deterministas y los demás supuestos.

Por tanto, en las implementaciones habituales de ADF y PP la hipótesis nula no es «la serie es estacionaria». La nula es que existe una raíz unitaria; la alternativa es estacionariedad en torno al componente determinista elegido. No rechazar la nula porque el estadístico no sea suficientemente negativo no demuestra que haya una raíz unitaria. La muestra quizá no aporte información suficiente para distinguirla de un proceso estacionario muy persistente cuyo parámetro autorregresivo esté cerca de uno.

Esto difiere de una prueba cuya nula es la estacionariedad, como KPSS, y de una prueba directa de cointegración. La guía sobre estacionariedad y raíces unitarias presenta esos conceptos generales; la guía de Engle–Granger trata el caso especial en que una combinación lineal de series no estacionarias es estacionaria.

Una regresión de raíz unitaria puede no incluir términos deterministas, incluir una constante o incluir una constante y una tendencia temporal lineal. No son opciones cosméticas. La constante permite deriva bajo la nula de raíz unitaria y una media distinta de cero bajo la alternativa estacionaria. La tendencia temporal permite que la alternativa estacionaria fluctúe alrededor de una tendencia determinista. El modelo y la distribución nula cambian con esos términos.

Incluir una tendencia innecesaria puede reducir la potencia porque se estiman más parámetros. Omitir una deriva o tendencia real puede distorsionar el tamaño y la interpretación de la prueba. Elige la especificación según la pregunta sobre el proceso generador y el gráfico de la serie, indícala explícitamente y usa los valores críticos correspondientes. No elijas a posteriori la opción que produzca el rechazo deseado.

Lo mismo se aplica a precios logarítmicos, diferenciales, tipos de interés y rendimientos. Una tendencia ascendente plausible en un nivel de precios quizá no lo sea en los rendimientos. La prueba no decide por ti cuál es la variable económica pertinente. Los componentes deterministas forman parte de la hipótesis, no son un detalle oculto del preprocesamiento.

La regresión Dickey–Fuller aumentada puede escribirse así:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

Aquí dₜ contiene los términos deterministas elegidos y la nula es H₀: γ = 0. Las diferencias rezagadas adicionales buscan que la perturbación restante se comporte lo bastante bien para la aproximación de la prueba. Modelan paramétricamente la dinámica de corto plazo dentro de la regresión; no añaden otra restricción de raíz unitaria.

El orden de rezago p importa. Con pocos rezagos puede quedar correlación serial en εₜ y debilitarse la aproximación prevista. Con demasiados se consumen grados de libertad y puede caer la potencia, sobre todo en muestras cortas. Parte de un máximo declarado, compara un criterio de información defendible con diagnósticos de residuos y comunica si los resultados cambian con órdenes próximos. Un rezago seleccionado pequeño no demuestra que la dependencia residual sea inocua. Harris (1992)90022-Q) estudia decisiones operativas sobre estructura de rezagos, tamaño y potencia de ADF.

La selección de rezagos puede ser difícil en algunos procesos. Ng y Perron muestran que, cuando una raíz de media móvil está cerca de −1, AIC o BIC convencionales pueden elegir muy pocos rezagos de aumento en los procedimientos de raíz unitaria que estudian. Sus criterios de información modificados se diseñaron para procedimientos con eliminación de tendencia GLS y pruebas relacionadas. Es una advertencia sobre ciertas dinámicas, no una regla de que un criterio o un rezago más largo siempre sea mejor.

La prueba Phillips–Perron parte de una regresión tipo Dickey–Fuller sin la suma de diferencias rezagadas de ADF:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

Después corrige el estadístico usando estimaciones de varianza de corto plazo y covarianza de largo plazo. Una forma habitual de esta última es:

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

Las γ̂ⱼ son autocovarianzas residuales, K es un peso de núcleo y ℓ es el ancho de banda o truncamiento. La fórmula exacta depende del estadístico PP y de la convención del software. La diferencia conceptual se mantiene: ADF añade diferencias rezagadas a la regresión; PP aplica una corrección no paramétrica por dependencia al estadístico de una regresión más breve.

PP no es simplemente «ADF con errores estándar robustos». Su corrección cambia el estadístico de raíz unitaria y su tratamiento asintótico; una salida de regresión robusta genérica no hace válido el valor crítico t ordinario. El núcleo y el ancho de banda determinan cuánta dependencia captura la corrección. Un ancho de banda demasiado pequeño puede omitir correlación relevante; uno excesivo puede volver ruidosa la estimación de la varianza de largo plazo.

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Bajo la nula de raíz unitaria, el nivel rezagado procede de una tendencia estocástica, no de un regresor estacionario. Por ello, las estadísticas de la familia DF tienen distribuciones límite no estándar. La tabla t convencional no es su referencia ni siquiera con una muestra grande. Los valores críticos dependen de si se incluye constante o tendencia, además del estadístico y su implementación.

Las estadísticas PP se transforman para tener en cuenta la dependencia, pero la nula de raíz unitaria sigue evaluándose frente a la ley de referencia no estándar apropiada. Usa valores críticos o p-valores de una implementación reconocida que coincida con los términos deterministas y el estadístico. No compares un ADF de una especificación con valores críticos PP de otra ni interpretes como t de Student ordinaria el cociente t de un coeficiente mostrado.

La calibración asintótica no garantiza un buen comportamiento en toda muestra finita. El estudio de Monte Carlo de Schwert informa de sensibilidad de los procedimientos de raíz unitaria a la mala especificación y de diferencias entre métodos en muestras finitas. Lee el p-valor teniendo en cuenta la longitud de la muestra, la dependencia de los datos, el rezago o ancho de banda y la especificación de la regresión.

El tamaño es la probabilidad de rechazar una nula de raíz unitaria verdadera; la potencia es la probabilidad de rechazar bajo una alternativa estacionaria especificada. Una prueba puede parecer concluyente en una muestra y tener tamaño incorrecto bajo su estructura real de dependencia. Los rezagos ADF y la corrección de covarianza de largo plazo PP tratan problemas relacionados con aproximaciones distintas; el resultado de una no garantiza la robustez de la otra.

Con ADF, comprueba si queda autocorrelación residual después de añadir rezagos y si uno adicional altera sustancialmente la inferencia. Con PP, comunica el núcleo y la regla del ancho de banda y examina alternativas razonables. Son análisis de sensibilidad, no permiso para probar muchas especificaciones y conservar el p-valor más favorable. Los resultados de Ng–Perron también advierten que la elección de rezagos interactúa con el proceso de error y la eliminación determinista de tendencia; un criterio mecánico no resuelve todos los diseños.

Ambas pruebas pueden tener poca potencia frente a alternativas estacionarias muy persistentes. No rechazar no es evidencia positiva de que haya que diferenciar. Si la muestra es corta, la raíz está cerca de uno o la conclusión es central para el modelo, considera evidencia complementaria y otros procedimientos con supuestos explícitos, en vez de tratar ADF y PP como votos independientes.

Un salto de nivel, un cambio de tendencia, un régimen de política, un cambio de paridad cambiaria o una transformación del mercado pueden hacer que una serie parezca muy persistente, aunque se describa mejor mediante tramos estacionarios alrededor de una trayectoria determinista cambiante. El análisis de Perron sobre grandes cambios históricos muestra que la conclusión de raíz unitaria puede depender de si se permite una ruptura. ADF y PP estándar no detectan automáticamente todas las rupturas.

Grafica la serie, documenta cambios institucionales conocidos y pregunta si una prueba que admita rupturas o un modelo segmentado responde a la cuestión. Buscar una ruptura después de ver la misma muestra puede afectar la inferencia; utiliza un método con valores críticos que contemple esa búsqueda o identifica el análisis como exploratorio. La guía Bai–Perron explica la estimación de rupturas en regresiones, un procedimiento distinto de una corrección ADF o PP sin modificar.

La transformación también importa. El nivel de un precio, su logaritmo, un diferencial y un rendimiento son variables distintas. Diferenciar un nivel posiblemente integrado puede producir una serie más estable, pero diferenciar una serie estacionaria puede descartar información y crear una especificación innecesariamente ruidosa. En pares, el análisis de cointegración ayuda a distinguir tendencias estocásticas separadas de un diferencial potencialmente estacionario. Ninguno de estos diagnósticos demuestra por sí solo que una estrategia sea rentable.

Supón que un nivel hipotético sigue:

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

μ es una deriva constante y las innovaciones εₜ pueden tener dependencia serial. Al restar yₜ₋₁ se obtiene Δyₜ = μ + εₜ; el coeficiente γ del nivel rezagado es cero en la regresión en diferencias correspondiente. Esa es la representación algebraica de la nula de raíz unitaria. No produce un p-valor: la referencia sigue siendo no estándar y depende de los términos deterministas y del tratamiento de la dependencia.

Con ADF, las diferencias rezagadas intentan representar la dependencia de corto plazo en la regresión. Con PP, la ecuación básica es más breve y el estadístico recibe una corrección estimada de covarianza de largo plazo. Si los datos tienen una ruptura de tendencia determinista, ambas implementaciones estándar pueden estar mal especificadas aunque el software muestre un estadístico aparentemente preciso.

La comparación tiene tres capas: la nula sustantiva, la especificación de regresión y términos deterministas, y la corrección de dependencia residual. Si las dos primeras se mantienen fijas, ADF y PP son diagnósticos alternativos útiles; cambiar las tres hasta que uno rechace no es una prueba de robustez. Una diferencia de resultados invita a revisar supuestos y ajustes, no a elegir un ganador que determine automáticamente el modelo.

Indica la variable y su transformación, fechas y frecuencia de la muestra, términos deterministas y regla de rezagos ADF con el orden elegido, o estadístico PP, núcleo y ancho de banda. Especifica hipótesis, estadístico y valor crítico o p-valor correspondiente, además de comprobaciones de autocorrelación residual y rupturas. Si el resultado cambia con ajustes defendibles, dilo; no presentes solo la especificación que respalda una interpretación preferida.

Un flujo de trabajo útil define primero el objetivo y el modelo económico, elige los términos deterministas, aplica ADF o PP con una especificación adecuada, diagnostica dependencia y posibles rupturas y compara con evidencia complementaria. La guía de razón de varianzas examina otra implicación del paseo aleatorio. No comparte la misma nula ni sustituye una prueba de raíz unitaria.

Ni ADF ni PP ordenan diferenciar cuando un p-valor cruza un umbral. Diferenciar es una decisión de modelización sobre la serie y la pregunta: pronosticar cambios, estimar relaciones de largo plazo, probar un diferencial de trading o conservar información de niveles pueden requerir decisiones distintas. La prueba ayuda, pero la transformación final también debe respetar el proceso generador, la estabilidad, el objetivo de predicción y una posible estructura de cointegración.