Todas las guías de opciones
Dos modelos simétricos con probabilidades extremas muy distintas15 min de lectura
Distribución normal frente a Student-t en finanzas
Compara normal y Student-t por caída de colas, grados de libertad, escala y varianza, verosimilitud, dependencia multivariante y límites como modelos de retornos financieros
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
Una distribución normal tiene colas exponenciales fijadas por media y varianza. Student-t añade grados de libertad ν y colas de potencia que asignan más probabilidad a observaciones extremas. Puede ajustar mejor los retornos, pero una distribución estática simétrica no explica todos los regímenes, asimetrías o grupos de volatilidad
Ambos son modelos simétricos de posición y escala
Una variable normal puede escribirse X=μ+σZ, con Z normal estándar y σ igual a su desviación estándar
Una Student-t de posición y escala es X=μ+sT_ν, donde s es escala y ν controla el grosor de cola
Ambas son simétricas en torno a μ, por lo que ninguna genera asimetría de retornos sin extensión o transformación
Student-t surge de incertidumbre de varianza
El estadístico T=Z/√(V/ν), con Z∼N(0,1), V∼χ²_ν e independencia, tiene distribución Student-t estándar
El denominador aleatorio hace más probables los valores estandarizados grandes que una normal de varianza fija
Cuando ν tiende a infinito, desaparece la incertidumbre del denominador y Student-t se acerca a la normal
Los grados de libertad determinan los momentos
Las colas Student-t caen como una potencia gobernada por ν y las normales exponencialmente con la distancia al cuadrado
La media existe si ν>1, la varianza si ν>2 y el cuarto momento si ν>4; por debajo no existe el momento poblacional
Para ν>4, el exceso de curtosis es 6/(ν−4), haciendo explícita la transición hacia colas normales
La escala no siempre es desviación estándar
Para una t de posición y escala con ν>2, Var(X)=s²ν/(ν−2), por lo que s es menor que la desviación estándar
Comparar σ normal con escala t como si ambas fueran volatilidad puede crear una falsa diferencia de cola o verosimilitud
El software usa nombres distintos y a veces versiones con varianza uno; registra siempre la convención exacta de densidad
La verosimilitud equilibra centro y colas
La máxima verosimilitud normal deja dominar a los residuos al cuadrado y pocos extremos pueden inflar la varianza
La verosimilitud Student-t reduce mediante ν la influencia de residuos grandes sin declararlos imposibles
Estimar ν cerca de una frontera de momentos puede volver inestables varianza, curtosis y riesgo aunque el optimizador converja
Los modelos multivariantes cambian extremos conjuntos
Una normal multivariante implica Gaussian Copula, con dependencia asintótica de cola cero bajo correlación menor que uno
Una t multivariante comparte escala aleatoria y produce dependencia de cola positiva y simétrica para ν finito
La simetría puede ser errónea si los desplomes conjuntos difieren de las subidas o la dependencia cambia por régimen
La elección exige pruebas de cola fuera de muestra
Compara gráficos de probabilidad y cuantiles, excesos, verosimilitud predictiva, cobertura y backtests de VaR o ES
Reajusta en ventanas móviles y prueba skewed-t, mezclas, volatilidad estocástica y residuos filtrados si queda estructura
Un mejor ajuste t significa una aproximación más útil para la tarea, no que los retornos sigan una ley t inmutable
Preguntas frecuentes
¿Por qué Student-t tiene colas más gruesas que la normal?
Su mezcla de escala aleatoria produce caída de potencia, mientras la probabilidad normal cae exponencialmente
¿Qué significan los grados de libertad?
El parámetro ν controla grosor de cola y existencia de momentos; valores positivos menores crean colas más pesadas
¿La escala Student-t equivale a volatilidad?
No en general. Con la convención habitual y ν>2, la desviación estándar es s√[ν/(ν−2)]
¿Student-t siempre es mejor para retornos?
No. Captura colas simétricas pesadas, pero puede omitir asimetría, dinámica de volatilidad, saltos y regímenes
Fuentes
Aplique esta idea a una opción
Elija un contrato y un objetivo para mantener visibles los supuestos de precio, tiempo y volatilidad en un mismo análisis
Analizar mi opción en inglés