Prueba del cociente de varianzas: paseos aleatorios, horizontes y trading

Sea \(P_t\) un precio observado y \(x_t=\ln(P_t)\) su logaritmo. El rendimiento logarítmico de un período es \(r_t=x_t-x_{t-1}\). El rendimiento logarítmico de \(q\) períodos suma \(q\) rendimientos consecutivos de un período. Si esos incrementos no están correlacionados y tienen una varianza estable, la varianza de la suma crece en proporción a \(q\).

El cociente de varianzas poblacional es

\[ \operatorname{VR}(q)=\frac{\operatorname{Var}(r_t+r_{t-1}+\cdots+r_{t-q+1})}{q\operatorname{Var}(r_t)}. \]

Bajo esa condición de escalamiento de la varianza, \(\operatorname{VR}(q)=1\). El procedimiento de Lo–MacKinlay convierte esta relación en un estadístico muestral y una prueba de la restricción de paseo aleatorio. Uno es el valor de referencia que implican los incrementos no correlacionados; no significa que los precios sean suaves o predecibles. En su aplicación original, los autores rechazaron la especificación de paseo aleatorio en datos históricos de acciones estadounidenses, pero advirtieron expresamente que ese rechazo por sí solo no demostraba un modelo de precios con reversión a la media.

Para rendimientos de un período estacionarios con autocorrelación \(\rho_j\) en el rezago \(j\), el mismo cociente poblacional se escribe como

\[ \operatorname{VR}(q)=1+2\sum_{j=1}^{q-1}\left(1-\frac{j}{q}\right)\rho_j. \]

Cada autocorrelación recibe un peso menor a medida que aumenta su rezago. Por tanto, el cociente resume un conjunto ponderado de correlaciones seriales hasta el horizonte \(q-1\); no equivale a la autocorrelación de un rezago concreto.

Para \(q=4\), supongamos que un proceso de rendimientos hipotético tiene \(\rho_1=0.10\), \(\rho_2=0.04\) y \(\rho_3=0\). Entonces,

\[ \operatorname{VR}(4)=1+2\left(\frac{3}{4}\times0.10+\frac{2}{4}\times0.04\right)=1.17. \]

El valor superior a uno refleja una dependencia ponderada positiva en esos horizontes. Si las dos primeras autocorrelaciones fueran \(-0.10\) y \(-0.04\), y la tercera siguiera siendo cero, el cociente sería \(0.83\). Son cálculos poblacionales hipotéticos. Una estimación observada puede diferir por variación muestral, cambios de volatilidad y correcciones del estimador para muestras finitas.

Distintos patrones de autocorrelación pueden producir el mismo cociente en un horizonte. Las contribuciones positivas y negativas pueden compensarse, de modo que un cociente exactamente igual a uno no exige que todas las autocorrelaciones incluidas sean cero. Examinar varios horizontes preespecificados puede revelar otro patrón, aunque también exige inferencia conjunta si se contrastan todos a la vez.

La prueba suele aplicarse a logaritmos de precios observados a intervalos iguales o a sus primeras diferencias. Si se usan cierres diarios, \(q=5\) representa un rendimiento de cinco sesiones, no una semana natural con otro número de sesiones bursátiles. Las sesiones ausentes, los saltos nocturnos y las marcas temporales irregulares cambian el significado de «un período». Especifica el calendario del mercado y si los precios incluyen distribuciones u otras acciones corporativas.

Usar rendimientos simples en lugar de logarítmicos es una elección de modelización, no un simple cambio de nombre válido para cualquier horizonte. Los rendimientos logarítmicos se suman exactamente en el tiempo; los simples se capitalizan. Para movimientos pequeños pueden ser numéricamente parecidos, pero la definición debe corresponder a la pregunta y mantenerse coherente en el ejemplo, la estimación y el backtest. No apliques la fórmula a un nivel de precios como si fuera una serie de rendimientos.

La mayoría de las implementaciones construye rendimientos solapados de \(q\) períodos para que cada observación disponible contribuya a la estimación. Así aumenta el número de observaciones agregadas, pero las ventanas adyacentes comparten muchos rendimientos de un período y no son independientes. El error estándar de la prueba incorpora esta construcción bajo sus supuestos; tratar los rendimientos solapados como independientes subestimaría la incertidumbre.

Supongamos que la varianza del rendimiento de una sesión de un activo hipotético es \(0.0001\), equivalente a una desviación estándar de 1 % por sesión. Con incrementos no correlacionados, la varianza del rendimiento de cuatro sesiones es \(4\times0.0001=0.0004\); su desviación estándar es 2 % y el cociente es \(0.0004/(4\times0.0001)=1\).

Ahora supongamos que la varianza estimada de cuatro sesiones es \(0.000468\), mientras la estimación de una sesión sigue siendo \(0.0001\). El cociente muestral es \(0.000468/(4\times0.0001)=1.17\). Ese cálculo describe cómo se compara la dispersión entre los horizontes elegidos. No significa que el rendimiento esperado sea un 17 % mayor, que el próximo rendimiento tenga un 17 % más de probabilidades de ser positivo ni que una posición de cuatro sesiones tenga una ganancia esperada del 17 %.

Para hacer una afirmación inferencial, compara el cociente estimado con su distribución de prueba y su medida de incertidumbre. El cociente puede estar cerca de uno aunque otros aspectos del proceso de precios contradigan un modelo completo de paseo aleatorio. A la inversa, en una muestra ruidosa o corta, un cociente distinto de uno puede no distinguirse estadísticamente de uno. Mantén separadas la estimación, la estadística de prueba, el valor p y la interpretación económica.

El estadístico clásico homocedástico de Lo–MacKinlay estandariza \(\widehat{\operatorname{VR}}(q)-1\) con una varianza asintótica derivada bajo incrementos de varianza constante. Si cambia la volatilidad condicional de los rendimientos, ese error estándar puede distorsionar el tamaño de la prueba. Lo y MacKinlay también desarrollan un estimador de varianza consistente frente a heterocedasticidad para el estadístico del cociente.

«Consistente frente a heterocedasticidad» tiene un alcance concreto: ajusta la inferencia a un patrón más amplio de varianza cambiante bajo los supuestos de la prueba. No corrige una serie de precios errónea, dependencia en todos los horizontes posibles, quiebres estructurales, cotizaciones desactualizadas ni una muestra demasiado corta. Algunos programas distinguen las opciones con símbolos como \(Z\) y \(Z^*\); consulta la documentación para saber qué hipótesis nula y qué fórmula del error estándar implementa.

El estudio de 1989 sobre muestras finitas encontró que el desempeño depende de la hipótesis nula y de la alternativa examinadas, y que en las simulaciones analizadas la prueba era más fiable bajo una nula de paseo aleatorio heterocedástico que algunos métodos comparables. No es una garantía universal para cualquier muestra o implementación. En muestras pequeñas puede resultar útil un bootstrap u otro método para muestras finitas, pero el diseño de remuestreo también debe preservar las características de dependencia y volatilidad relevantes para la pregunta.

Una prueba con un solo \(q\) pregunta si la restricción de escalamiento de la varianza se cumple en un horizonte elegido. Si se escogió \(q\) después de inspeccionar muchos horizontes, el valor p informado no refleja esa búsqueda. Probar \(q=2,4,8,16\) y destacar solo el resultado más significativo aumenta la probabilidad de un falso positivo.

Un procedimiento conjunto de cocientes de varianzas contrasta simultáneamente un conjunto preespecificado de horizontes y ajusta la decisión por comparaciones múltiples. Chow y Denning desarrollaron una prueba múltiple de este tipo porque considerar muchos cocientes individuales como decisiones separadas sin ajuste puede elevar mucho la tasa global de error de tipo I. El resultado conjunto se refiere a la familia de horizontes probada; no explica qué rezago, mecanismo o participante del mercado produjo la desviación.

Elige los horizontes por una razón vinculada a la frecuencia de muestreo y a la pregunta de investigación. Comparar un día, una semana y un mes puede ser útil, pero cada horizonte tiene un conjunto de información y una estructura de solapamiento distintos. Informa el conjunto completo de horizontes probado, no solo el más favorable, y distingue la exploración de una prueba confirmatoria.

Una estimación por encima de uno es compatible con dependencia serial ponderada positiva en los rezagos seleccionados. Una estimación por debajo de uno es compatible con dependencia ponderada negativa en esos rezagos. Ninguno de los signos identifica de manera única el momentum, la reversión a la media, un ajuste de precios retardado, efectos de inventario, el rebote bid-ask, la negociación asíncrona o un proceso de volatilidad.

En particular, \(\operatorname{VR}(q)<1\) no demuestra que el nivel de precios sea estacionario. Una serie puede tener un cociente inferior a uno en cierto horizonte y conservar una tendencia estocástica. A la inversa, rechazar la restricción de paseo aleatorio no demuestra por sí solo una alternativa estacionaria con reversión a la media; Lo y MacKinlay señalaron expresamente que su rechazo en los datos bursátiles estudiados no respaldaba esa conclusión.

La inferencia también depende de si el objeto analizado son rendimientos, logaritmos de precios, rendimientos excedentes u otra serie transformada. Un resultado para rendimientos diarios entre cierres no implica nada automáticamente sobre cotizaciones intradía u otro universo de activos. Especifica el objeto y limita la interpretación en consecuencia.

El rebote bid-ask puede crear dependencia negativa a corto plazo en rendimientos calculados con precios de transacción, aunque un proceso más lento del valor económico no revierta. Los valores poco líquidos pueden actualizarse de forma asíncrona, y los precios de cierre pueden captar ventanas de información diferentes entre mercados. Estos rasgos pueden afectar con más fuerza a los horizontes más cortos. Antes de llamar anomalía de mercado al patrón, comprueba la calidad de las cotizaciones, la actividad de negociación, la alineación de marcas temporales y la sensibilidad a un intervalo de muestreo más lento.

La agrupación de volatilidad afecta los errores estándar aunque los signos o niveles de los rendimientos no tengan un patrón direccional estable. Un cambio estructural en la media, la volatilidad, el horario de negociación o la composición del mercado puede hacer que un único cociente para toda la muestra mezcle regímenes distintos. Examina la estabilidad por subperíodos sin seleccionar solo la ventana que respalda la interpretación preferida.

Buscar entre activos, frecuencias, horizontes, filtros y fechas finales de la muestra crea otro problema: seleccionar el ruido. Un cociente de varianzas estadísticamente inusual descubierto tras una búsqueda amplia no es una prueba de hipótesis intacta. Preespecifica un horizonte principal o utiliza un método conjunto o de remuestreo adecuado y valida los patrones encontrados con datos cronológicos posteriores.

La prueba resume la variabilidad de los rendimientos entre horizontes. No especifica dirección, entrada, salida, stop, tamaño de posición, tiempo de tenencia ni si la señal estaba disponible antes de ejecutar la operación. Incluso un patrón de dependencia estable puede ser demasiado pequeño para superar comisiones, spread, impacto de mercado, financiación, préstamo de activos y rotación.

En un estudio de trading, define la señal y el momento de decisión antes de observar rendimientos futuros. Estima los parámetros en una ventana de formación, mantenlos fijos y evalúa observaciones posteriores. Si el resultado se descubrió después de probar muchos activos u horizontes, reserva un período de prueba realmente intacto o utiliza un método que tenga en cuenta la búsqueda. Compara los resultados después de costes con una referencia e incluye ejecuciones realistas, no solo un pronóstico teórico de rentabilidad.

Utiliza el cociente como diagnóstico junto con gráficos, comprobaciones de autocorrelación, pruebas de raíces unitarias y análisis de estabilidad. Una desviación del escalamiento de la varianza puede motivar un modelo más específico, pero ese modelo necesita sus propios supuestos y evidencia fuera de muestra. La prueba resume de forma compacta una restricción de momentos; no demuestra que exista una ventaja.

Indica la definición del precio, la transformación del rendimiento, la frecuencia de observación, las fechas de la muestra, el número de observaciones utilizables y si los rendimientos se solapan. Informa todos los horizontes \(q\) probados, el cociente de varianzas muestral, la versión del error estándar, el estadístico de prueba, el valor p, el nivel de significación y cualquier ajuste conjunto por probar varios horizontes.

Explica cómo trataste las observaciones ausentes, las acciones corporativas, los cierres del mercado y las marcas temporales. Señala si la inferencia robusta a la volatilidad, el bootstrap, los subperíodos o intervalos de muestreo alternativos cambiaron el resultado. Para una aplicación de trading, separa la muestra estadística del período de evaluación y revela los costes, el momento de ejecución, las reglas de selección y todos los activos y horizontes probados.

Lo y MacKinlay presentan la prueba de especificación del cociente de varianzas y estudian su tamaño y potencia en muestras finitas. Chow y Denning explican por qué probar varios cocientes de varianzas exige controlar conjuntamente el nivel90051-6). Para conceptos relacionados, consulta las guías sobre estacionariedad y raíces unitarias, cointegración de Engle–Granger y el test de rango de cointegración de Johansen.