Prueba de cointegración de Johansen: rango, traza y máximo autovalor

Supongamos que \(y_t\) contiene \(k\) variables, cada una tratada como \(I(1)\) bajo un proceso generador de datos especificado. El rango de cointegración \(r\) es el número de combinaciones linealmente independientes de sus niveles que son estacionarias. Si \(r=0\), el modelo no encuentra ninguna combinación de ese tipo bajo esa especificación. Si \(0<r<k\), hay \(r\) relaciones independientes de largo plazo y, bajo las condiciones habituales de un sistema \(I(1)\), quedan \(k-r\) tendencias estocásticas comunes. Un rango de uno representa una relación en todo el sistema; no necesariamente un par evidente de activos.

Esta es una pregunta sobre el sistema completo. El procedimiento de dos etapas de Engle–Granger estima una ecuación de largo plazo normalizada y contrasta sus residuos estimados. El método de máxima verosimilitud de Johansen estima y contrasta, en cambio, la dimensión del espacio de cointegración de un modelo autorregresivo vectorial, por lo que puede representar más de una relación independiente. Los métodos responden a preguntas relacionadas pero distintas y pueden discrepar en muestras finitas o con especificaciones diferentes de rezagos y términos deterministas.

Un VAR en niveles puede reescribirse en una forma simplificada de corrección del error, omitiendo aquí los términos deterministas:

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\Gamma_j\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

Aquí, \(p\) es el orden de rezago del VAR en niveles. Las columnas de \(\beta\) describen combinaciones de largo plazo, mientras que \(\alpha\) contiene las cargas de ajuste que relacionan el desequilibrio previo con los cambios actuales. Cuando \(\Pi\) tiene rango \(r\), puede factorizarse en matrices \(\alpha\) y \(\beta\) de dimensión \(k\times r\). El rango, y no solo el número de variables, determina cuántos términos de corrección del error entran en el sistema.

Si las \(k\) series son realmente \(I(1)\), en los casos habituales de cointegración se cumple \(r<k\). Un resultado de rango completo apunta a que los niveles son estacionarios alrededor de los términos deterministas permitidos por la especificación estimada, y debería llevar a revisar la premisa original sobre el orden de integración. Un rango cero no demuestra que las variables carezcan de cualquier vínculo; indica que el modelo elegido no encontró una combinación estacionaria de niveles para el rango contrastado.

Ordenemos los autovalores estimados de modo que \(1>\hat\lambda_1\ge\hat\lambda_2\ge\cdots\ge\hat\lambda_k\ge0\). Proceden del problema de rango reducido del método de máxima verosimilitud; no son porcentajes habituales de varianza explicada. Para un rango candidato \(r\), el estadístico de traza es

\[ \operatorname{LR}_{\mathrm{trace}}(r)=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i), \]

y contrasta \(H_0:\operatorname{rank}(\Pi)\le r\) frente a \(H_A:\operatorname{rank}(\Pi)>r\). Acumula la evidencia de los autovalores restantes. El estadístico de máximo autovalor es

\[ \operatorname{LR}_{\max}(r,r+1)=-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1}), \]

y compara el rango \(r\) con el siguiente, \(r+1\). Así, la prueba de traza pregunta si hay más de \(r\) relaciones en total, mientras que la de máximo autovalor pregunta si los datos respaldan añadir la siguiente. Ninguno de los estadísticos sigue la distribución de referencia ji-cuadrado habitual bajo esta hipótesis nula de rango.

Imaginemos un sistema de tres variables con 200 observaciones utilizables y autovalores estimados, ordenados, de \(0.16\), \(0.05\) y \(0.01\). Son cifras inventadas con fines didácticos, no estimaciones de mercado. Para \(r=0\), la traza suma los tres términos y es aproximadamente \(47.14\), mientras que el máximo autovalor usa solo el primero y es aproximadamente \(34.87\). Para \(r=1\), los valores respectivos son aproximadamente \(12.27\) y \(10.26\); para \(r=2\), ambos usan el último autovalor y dan aproximadamente \(2.01\).

El cálculo produce estadísticos de prueba, no una decisión sobre el rango. Para decidir, compara cada estadístico con valores críticos o valores p que correspondan al caso exacto de términos deterministas y a la secuencia de pruebas. Por ejemplo, que una tabla de software indique «rechazar con \(r=0\)» es evidencia contra el rango cero solo bajo los supuestos de esa tabla y el nivel elegido; no es la probabilidad directa de que un diferencial concreto entre activos sea estacionario. Un valor p superior al umbral significa que no se rechaza esa hipótesis nula de rango, no que se haya demostrado que es cierta.

Elige un orden de rezago VAR defendible antes de interpretar el rango. Un VAR en niveles de orden \(p\) corresponde a \(p-1\) diferencias rezagadas en el VECM. Si hay muy pocos rezagos, puede quedar autocorrelación en los residuos; demasiados consumen grados de libertad y pueden volver inestable la inferencia en muestras finitas. Los criterios de información ayudan a ordenar los candidatos, pero también importan los diagnósticos de residuos, el tamaño de muestra y la cronología económica. Indica cómo seleccionaste el orden y comprueba alternativas razonables.

Decide dónde incluir constantes y tendencias: fuera de la relación de cointegración, restringidas dentro de ella o ausentes según el modelo mantenido. Estos casos implican dinámicas de largo plazo y distribuciones del contraste de rango diferentes. Elige la especificación según la pregunta y los datos, no buscando el valor p más favorable. Usa valores críticos que coincidan exactamente con el caso determinista, el número de variables y la implementación. Los estadísticos de rango de Johansen tienen distribuciones no estándar. MacKinnon, Haug y Michelis calculan distribuciones mediante superficies de respuesta para pruebas de razón de verosimilitud de tipo Johansen especificadas, incluida una extensión que permite variables \(I(1)\) exógenas. Sus valores no deben trasladarse a cualquier configuración de prueba de rango.

La ubicación de un término determinista no es una opción cosmética del software. En parametrizaciones habituales, una constante restringida a la relación de cointegración permite que esa combinación de equilibrio tenga una media distinta de cero; una constante sin restringir fuera de la relación puede permitir una deriva determinista distinta en los niveles. Las restricciones sobre la tendencia también cambian la trayectoria de largo plazo mantenida. Una tabla que solo informe «constante incluida» es incompleta si no especifica dónde entra la constante. Lee la ecuación del modelo e informa cada restricción.

El espacio de cointegración es el objeto central de estimación. En un modelo de rango uno, multiplicar el vector \(\beta\) por una constante distinta de cero no cambia qué combinación de niveles es estacionaria. Por eso, quien analiza elige una normalización, por ejemplo, fijar un coeficiente en uno. Con rango mayor, distintas bases pueden generar el mismo espacio; los vectores que muestra el software no son automáticamente relaciones económicas únicas. Para interpretar un vector concreto se necesitan restricciones o teoría adicional, y debe informarse la normalización.

La matriz de ajuste \(\alpha\) indica qué variables responden al desequilibrio en el sistema estimado. Su signo depende de la normalización elegida, y sus elementos son coeficientes condicionales del sistema, no efectos causales aislados. Una carga pequeña o nula puede motivar una hipótesis de exogeneidad débil, pero esa conclusión requiere las restricciones formales correspondientes y el modelo mantenido. El rango de cointegración por sí solo no indica qué variable «lidera», qué relación tiene sentido económico ni cómo afectará un shock a los precios futuros.

La falta de unicidad es una propiedad de la factorización, no solo una peculiaridad de cómo se muestran los resultados. Para una matriz \(H\) no singular, \(\beta H\) y \(\alpha(H^{-1})^{\mathsf T}\) producen la misma matriz de largo plazo \(\Pi\). Por tanto, el espacio estimado puede estar identificado aunque un conjunto concreto de vectores mostrados no sea único. Elegir un vector como diferencial negociable requiere una normalización explícita o una restricción económica; sus unidades y riesgos también deben analizarse por separado.

Es habitual contrastar los rangos candidatos en secuencia, empezando en cero y avanzando hasta que no se rechaza por primera vez una hipótesis nula. El rango elegido es una decisión de modelización condicionada al nivel de significación y a la especificación elegidos. Si la traza y el máximo autovalor discrepan, informa ambos resultados e investiga la longitud del rezago, los términos deterministas, la baja potencia, los quiebres estructurales y la sensibilidad a la muestra; no ocultes la diferencia.

Los valores críticos de la razón de verosimilitud son no estándar y dependen de la especificación del sistema. Un comportamiento próximo a una raíz unitaria, muestras cortas, valores atípicos, cambios de régimen, variables \(I(2)\) o regresores integrados exógenos pueden hacer inadecuado el modelo simple \(I(1)\). Una tabla estándar de rango no cubre automáticamente estos casos. Los trabajos originales de Johansen desarrollan la inferencia por máxima verosimilitud bajo supuestos de VAR gaussiano; los cálculos posteriores de superficies de respuesta ofrecen distribuciones de referencia para configuraciones de prueba concretas, no para todos los posibles problemas de datos.

Por ejemplo, si la prueba de traza rechaza \(r=0\) y \(r=1\), pero no rechaza \(r=2\), la secuencia convencional selecciona el rango dos bajo esa especificación y ese nivel de significación. Eso no significa que la probabilidad de que el rango verdadero sea dos sea uno. La secuencia del máximo autovalor compara hipótesis nulas de rangos adyacentes, así que también deben mostrarse sus decisiones. No apliques el valor crítico de una prueba al estadístico de la otra.

El rango seleccionado también depende del período de la muestra. Un cambio en la relación económica, la estructura del mercado o la definición de las variables puede producir estimaciones distintas en submuestras iniciales y finales. El análisis de sensibilidad puede revelar esa inestabilidad, pero buscar muchos puntos finales genera otro problema de pruebas múltiples. Explica qué ventanas se planificaron y trata las divisiones no planificadas como evidencia exploratoria.

En un estudio de trading, el vector estimado \(\beta\) puede ser una posible definición de un diferencial, pero el rango no proporciona niveles de entrada y salida, tamaños de posición ni rendimientos esperados. Si hay varios vectores de cointegración, elegir una combinación puede implicar normalización, restricciones y selección de datos. Los pesos pueden requerir posiciones cortas, apalancamiento o activos poco líquidos aunque se haya estimado una relación estadística.

Estima el sistema usando solo la información disponible en cada fecha de decisión y prueba cronológicamente todo el proceso de selección y reestimación. Comprueba si la relación se mantiene estable fuera de muestra e incluye, según corresponda, dividendos, vencimientos y renovación de contratos, conversión de divisas, financiación, disponibilidad de préstamo, diferenciales comprador-vendedor, impacto de mercado y momento de ejecución. Rechazar una hipótesis nula de rango es evidencia sobre un modelo especificado, no una afirmación de rentabilidad. La guía sobre la prueba de Engle–Granger y la corrección del error cubre la alternativa de una ecuación; cointegración y correlación en pares de trading explica por qué la correlación es una propiedad distinta.

Identifica las \(k\) variables, transformaciones, frecuencia de observación, fechas de muestra y evidencia sobre el orden de integración. Informa el orden del VAR en niveles, la ubicación de los términos deterministas, el tamaño efectivo de muestra, los estadísticos de traza y máximo autovalor, los valores críticos o valores p correspondientes, el nivel de significación y las decisiones secuenciales sobre el rango. Indica si coincidieron ambas pruebas, qué rango se usó después y qué comprobaciones de sensibilidad cambiaron el resultado.

Al presentar los vectores, especifica la normalización, las restricciones y las cargas de ajuste correspondientes. Para una aplicación de trading, revela qué datos estaban disponibles en cada rebalanceo, la regla de selección de vectores, el diseño fuera de muestra, los costes y el tratamiento de fallos. El análisis de vectores de cointegración de Johansen de 198890041-3) desarrolla el enfoque de máxima verosimilitud para el espacio y el rango de cointegración. Su tratamiento de 1991 para VAR gaussianos aborda la inferencia del rango y las hipótesis sobre los vectores. MacKinnon, Haug y Michelis presentan distribuciones de superficies de respuesta para pruebas de razón de verosimilitud de cointegración. Otras guías explican estacionariedad y raíces unitarias.