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Leer tamaño y dirección del riesgo en la covarianza18 min de lectura
Valores propios, vectores propios y riesgo financiero
Explica valores y vectores propios, descomposición de covarianza, concentración, dimensión efectiva e inestabilidad por error muestral.
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
Un vector propio es una dirección conservada por una transformación lineal y su valor propio es la escala aplicada en esa dirección. En una matriz de covarianza de retornos, los vectores representan direcciones de movimiento conjunto y los valores miden su varianza. Si pocos valores grandes concentran la mayor parte del total, una cartera puede tener muchos activos y seguir expuesta a pocos ejes comunes. Los vectores asociados a valores cercanos son sensibles a la muestra, por lo que conviene evaluar subespacios, varianza explicada y estabilidad fuera de muestra sin sobrenombrar cada eje.
Algunas direcciones sobreviven la transformación
Una matriz suele cambiar longitud y dirección. Un vector propio permanece sobre la misma línea después de la transformación.
El valor propio indica cuánto se escala esa dirección. Un valor negativo invierte orientación, aunque en covarianza no puede ser negativo.
La longitud del vector es arbitraria y suele normalizarse a uno. El vector y su negativo representan el mismo eje.
La matriz de covarianza guarda movimiento conjunto
La diagonal contiene varianzas individuales y las posiciones externas contienen covarianzas por pares.
Es simétrica y semidefinida positiva, por lo que admite valores propios reales y vectores propios ortogonales.
La covarianza muestral se estima con observaciones; sus valores y vectores también tienen error muestral.
El valor propio es varianza en una dirección
Al proyectar retornos sobre un vector propio unitario, la varianza muestral proyectada coincide con su valor propio.
La suma de valores propios es la traza de la matriz y también la suma de varianzas individuales.
Dividir un valor por ese total da su proporción explicada; ordenarlos clasifica las direcciones de riesgo ajustadas.
La descomposición ortogonal reconstruye el riesgo
La descomposición espectral expresa covarianza como suma de direcciones ponderadas por sus valores propios.
Como los ejes no se correlacionan, la varianza de cartera se separa en exposición al cuadrado por valor propio.
Es un cambio de coordenadas. Ejes sin correlación no demuestran independencia de los choques económicos.
Valores cercanos vuelven inestable la dirección
Cuando dos valores son próximos, un pequeño cambio de datos puede rotar mucho sus vectores.
Si son iguales, cualquier base ortogonal del subespacio compartido genera la misma covarianza; el vector individual no es único.
Alineación de signos, ángulos, distancia entre subespacios y bootstrap evalúan mejor la estabilidad.
Grandes valores revelan concentración
Un primer valor dominante indica una dirección compartida y una diversificación efectiva menor que el número nominal de activos.
La dimensión efectiva resume cuán repartida está la varianza entre valores propios; carteras del mismo tamaño pueden diferir mucho.
En estrés pueden subir correlaciones y peso del primer eje. Una estimación tranquila puede exagerar la diversificación de crisis.
Se conecta con PCA y riesgo factorial
Las cargas PCA son vectores propios de covarianza o correlación y la varianza explicada nace de sus valores.
Pocos valores grandes apoyan una estructura factorial aproximada, pero no identifican por sí solos su fuente económica.
El modelo factorial especifica estructura común y residuos; la descomposición describe geometría. Se solapan, pero no asumen lo mismo.
Se revelan estimación e incertidumbre
Se reportan definición y frecuencia del retorno, ventana, faltantes, atípicos, escalado y estimador de covarianza.
Se muestra todo el espectro, proporciones acumuladas, vectores principales y regla de signo sin imponer identidades sin evidencia.
Se comparan ventanas móviles, contracción y pronóstico fuera de muestra. Un gráfico nítido no elimina error de estimación.
Preguntas frecuentes
¿Por qué los valores propios de covarianza no son negativos?
Porque la varianza no puede ser negativa en ninguna dirección y la matriz es semidefinida positiva.
¿El mayor vector propio siempre es el factor mercado?
Puede parecerse, pero debe validarse con composición, muestra y un retorno de mercado externo.
¿Cómo se interpreta el signo del vector propio?
El vector y su negativo son el mismo eje. Se alinean con un activo de referencia o la ventana anterior.
¿Es irrelevante una dirección con valor pequeño?
No necesariamente. Puede importar para coberturas, valor relativo o predicción aunque tenga poca varianza simultánea.
Fuentes
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