Prueba KPSS de estacionariedad: hipótesis nula, estadístico y ancho de banda

La prueba de Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin, abreviada KPSS, invierte la hipótesis nula de las conocidas pruebas de Dickey–Fuller. Su hipótesis nula afirma que la serie es estacionaria alrededor de los términos deterministas especificados en la prueba. La formulación original admite, en la alternativa, un componente de paseo aleatorio con varianza de innovación positiva.

Esta elección cambia la lectura del resultado. Un estadístico KPSS suficientemente grande aporta evidencia contra la hipótesis nula seleccionada de estacionariedad en nivel o en tendencia. Un estadístico pequeño significa que, bajo la configuración elegida, la muestra no aportó evidencia suficiente para rechazarla. No demuestra que el proceso sea estacionario, que su media vaya a permanecer estable para siempre ni que el precio volverá a un nivel útil para operar.

La guía sobre estacionariedad y raíces unitarias presenta los conceptos relacionados. La comparación entre ADF y Phillips–Perron explica dos pruebas que, en cambio, sitúan una raíz unitaria en la hipótesis nula. Son preguntas complementarias, no versiones intercambiables de una misma prueba.

La prueba KPSS representa una serie observada así:

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

Aquí, \(d_t\) es la parte determinista, \(r_t\) es un componente de paseo aleatorio y \(\epsilon_t\) es un error estacionario. En una prueba de estacionariedad en nivel, \(d_t\) contiene una constante. En la prueba de estacionariedad en tendencia, contiene una constante y una tendencia temporal lineal.

La hipótesis nula fija en cero la varianza de innovación del paseo aleatorio: \(\sigma_u^2=0\). Sin ese componente, la serie fluctúa alrededor de la constante o tendencia determinista especificada. La alternativa permite que \(\sigma_u^2>0\), de modo que los shocks pueden acumularse como tendencia estocástica en lugar de desaparecer alrededor de la trayectoria elegida.

Este es un modelo mantenido por la prueba, no una afirmación de que toda alternativa sea un paseo aleatorio de manual. Los cambios estructurales, la persistencia fraccional, la dinámica no lineal, la varianza cambiante y unos términos deterministas mal elegidos también pueden hacer que el modelo de estacionariedad no encaje con la muestra. La prueba detecta tensión con sus supuestos, pero no identifica un único modelo alternativo.

Primero, regresa las observaciones sobre los términos deterministas elegidos para la prueba y llama \(\hat e_t\) a los residuos. Sus sumas parciales acumuladas son:

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

El estadístico KPSS suele escribirse así:

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

donde \(n\) es el tamaño de la muestra y \(\hat{\omega}^{\,2}\) estima la varianza de largo plazo de los residuos. Si los residuos mantienen el mismo signo durante un tiempo, \(S_t\) se aleja de cero. Al elevar las sumas parciales al cuadrado, las desviaciones sostenidas contribuyen más que los cambios aislados de signo.

El estadístico no puede ser negativo. Cuanto mayores sean las desviaciones acumuladas respecto de la varianza de largo plazo estimada, más difícil resulta mantener la hipótesis nula de estacionariedad. El denominador es esencial: la dependencia serial de los residuos cambia la variación que debería mostrar una suma parcial incluso cuando el proceso subyacente es estacionario.

La versión de nivel pregunta si la serie es estacionaria alrededor de una constante. La versión de tendencia elimina primero una constante y una tendencia temporal lineal, y pregunta si el componente restante es estacionario. Algunas implementaciones habituales llaman mu y tau a estos casos, pero los nombres y las convenciones de salida dependen del software.

La elección cambia tanto los residuos como la distribución de referencia. Omitir una tendencia determinista en una serie estacionaria en torno a una tendencia puede dejar un patrón largo en los residuos e inflar el estadístico. Añadir una tendencia sin motivo cambia el modelo que se contrasta y puede reducir la capacidad para detectar algunas alternativas. Decide a partir de la definición de los datos y de la pregunta económica, y documenta la elección en vez de cambiarla hasta obtener el resultado deseado.

Los valores críticos de KPSS proceden de distribuciones asintóticas no estándar, distintas para los casos de nivel y tendencia. No compares el estadístico con un umbral ordinario de t o chi-cuadrado, ni supongas que un único valor memorizado sirve para todas las especificaciones deterministas. Usa la tabla o la salida del software correspondiente e indica el nivel de significación.

Algunas implementaciones solo muestran un intervalo para el valor p porque comparan el estadístico con una tabla finita de valores críticos. En ese caso, informa del intervalo que respalda la salida, en vez de inventar más decimales. Indica también si se usó el caso de nivel o tendencia y cuál fue la fuente de los valores críticos, para que otra persona pueda reproducir la decisión.

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Un estimador habitual de la varianza de largo plazo usa autocovarianzas residuales ponderadas:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

Aquí, \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) define la autocovarianza muestral del retardo \(j\) con denominador \(n\); las convenciones para muestras finitas pueden variar entre implementaciones.

Con ponderaciones de Bartlett, \(w_j=1-j/(\ell+1)\). El ancho de banda de truncamiento \(\ell\) decide cuántas autocovarianzas residuales se incluyen y con qué rapidez disminuyen sus ponderaciones. Las implementaciones pueden usar distintos kernels, reglas de ancho de banda y convenciones para muestras finitas; nómbralos para que el resultado sea reproducible.

Este ancho de banda no es el número de diferencias rezagadas que se añaden a una regresión ADF. En KPSS controla la estimación de la varianza de largo plazo; en ADF, los rezagos de aumento entran en la propia regresión. El software puede llamar lag a ambos ajustes, por lo que una indicación como «lag 4» no describe el procedimiento de forma reproducible.

Un ancho demasiado corto puede excluir dependencia de corto plazo relevante de la estimación de largo plazo. Uno mucho más largo puede incorporar autocovarianzas muestrales ruidosas. Cualquiera de las dos opciones puede alterar el estadístico y el tamaño o la potencia de la prueba; la dirección no es igual para todo patrón residual. Informa del kernel y de la regla para elegir rezagos, y comprueba si una alternativa razonable y preespecificada cambia la interpretación.

Este ajuste de largo plazo está relacionado con la estimación de covarianzas consistente frente a heterocedasticidad y autocorrelación. No hace que KPSS sea robusta ante cualquier dependencia, cambio estructural o especificación determinista incorrecta. La guía de covarianzas de Newey–West explica el papel más amplio y los límites de las estimaciones HAC.

Supón que una regresión de tendencia sobre seis observaciones sintéticas deja los residuos \(1,-1,0,0,-1,1\). Suman cero y son ortogonales a una tendencia temporal lineal, como deben ser los residuos de una regresión de tendencia. Sus sumas parciales son \(1,0,0,0,-1,0\), y la suma de sus cuadrados es \(2\).

Para ilustrar la aritmética, usa la convención de autocovarianza muestral con denominador \(n\) y un ancho de banda Bartlett de uno. El término de varianza residual es \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\). La autocovarianza de orden uno es \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\), con ponderación Bartlett de \(1/2\). Por tanto:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

Este cálculo con seis puntos solo ilustra el mecanismo. La muestra es demasiado pequeña para respaldar la decisión asintótica habitual de KPSS y no se debe comparar su estadístico con un valor crítico publicado como si fuera un hallazgo empírico.

Ejecutar KPSS junto a una prueba de tipo ADF puede revelar cuánto depende la conclusión de la hipótesis nula. Lee la pareja como evidencia bajo dos modelos distintos:

Las pruebas pueden diferir en correcciones de rezagos, especificaciones deterministas, muestras y aproximaciones para muestras finitas. Alinea esas decisiones cuando corresponda y documenta las diferencias inevitables. No conviertas las cuatro combinaciones en una regla automática de transformación. No rechazar ninguna hipótesis nula no significa que sea verdadera.

Un cambio único en la media, una tendencia cambiante o una ruptura de varianza puede hacer que un proceso estacionario dentro de cada régimen parezca no estacionario en la muestra completa. A la inversa, con datos finitos puede ser difícil distinguir una raíz cercana a uno de una raíz unitaria. Las muestras cortas, valores atípicos, colas pesadas, ajustes no lineales e integración fraccional también pueden hacer engañosa la aproximación de referencia.

Representa gráficamente el nivel, el ajuste determinista elegido y los residuos antes de informar la prueba. Si es plausible una ruptura, usa un diseño que la contemple y especifica su hipótesis nula, el tratamiento de la ruptura y los valores críticos. Si se buscaron muchas fechas de ruptura o anchos de banda, revela esa selección: el menor valor p de la búsqueda no es un resultado de prueba intacto.

Para un par o spread propuesto, KPSS no prueba si dos activos están cointegrados. La guía de Engle–Granger explica un procedimiento de cointegración basado en residuos y su problema propio de valores críticos. La guía sobre el rango de cointegración de Johansen cubre un enfoque de sistemas. Un resultado KPSS para una sola serie de precios no sustituye a ninguno.

Si aplicas KPSS a residuos de una razón de cobertura estimada, un modelo ARMA o una fecha de ruptura elegida, esos residuos proceden de una etapa previa de ajuste. La estimación de parámetros y la selección del modelo pueden cambiar la distribución nula. No supongas que los valores críticos habituales sirven para todo el proceso; usa una prueba residual calibrada para el modelo ajustado o un bootstrap que repita las etapas de estimación.

Indica la variable y su transformación, número de observaciones, hipótesis nula de nivel o tendencia, términos deterministas, kernel de la varianza de largo plazo, regla del ancho de banda, estadístico, valores críticos correspondientes o valor p y nivel de significación. Incluye un análisis de sensibilidad solo si sus alternativas están justificadas y se explican con transparencia; no selecciones el resultado más atractivo después de probar muchas ventanas y versiones.

Para datos de mercado, informa las fechas de la muestra, frecuencia, alineación de sesiones, tratamiento de valores ausentes y si la serie analizada es un precio, una rentabilidad, un residuo o un spread. No rechazar la hipótesis nula KPSS no significa que un spread vaya a converger pronto. Una estrategia de reversión a la media aún requiere un equilibrio definido, evaluación fuera de muestra, señales disponibles al operar y costes realistas de spread, financiación, préstamo y ejecución.

Una prueba sobre el nivel del logaritmo del precio responde a una pregunta distinta de una prueba sobre la rentabilidad, que es la primera diferencia del logaritmo del precio. Diferenciar puede eliminar una tendencia estocástica bajo algunos modelos, pero cambia la variable estudiada y no establece una relación de largo plazo entre dos activos. Elige la transformación según el estimando y el modelo, y declárala expresamente.

El artículo de Kwiatkowski, Phillips, Schmidt y Shin de 199290104-Y) formula la prueba como un contraste LM de que la varianza del componente de paseo aleatorio es cero. El artículo de Newey y West de 1987 es una fuente primaria sobre la estimación HAC semidefinida positiva. Para comparar con una hipótesis nula de raíz unitaria, consulta el artículo de Dickey y Fuller de 1979.