Prueba de Zivot–Andrews: raíz unitaria con una ruptura desconocida

Una prueba Dickey–Fuller aumentada puede tener dificultades para distinguir una raíz unitaria de un proceso estacionario si la serie contiene una ruptura de nivel o tendencia que la regresión omite. Un cambio puntual tras una modificación de política, una variación de la tendencia medida o un episodio excepcional del mercado puede hacer que la muestra completa parezca más persistente que cada segmento alrededor de su propia trayectoria determinista.

La prueba ZA adapta la idea de Dickey–Fuller para buscar una fecha de ruptura desconocida. Pregunta si aumenta la evidencia contra una raíz unitaria cuando se permite que la parte determinista de la regresión cambie una vez. Es útil cuando una única ruptura es una característica defendible de la pregunta; no es una búsqueda general de cualquier cambio de régimen.

Sigue siendo una prueba de raíz unitaria. No comprueba si un acontecimiento concreto causó la ruptura, no estima una regla de trading ni demuestra que los precios reviertan con suficiente rapidez para operar. La comparación entre ADF y Phillips–Perron presenta el caso de referencia sin rupturas, y la guía de estacionariedad y raíces unitarias explica las hipótesis más amplias.

La regresión para una fecha candidata suele escribirse en diferencias así:

Δyₜ = dₜ(λ)′δ + αyₜ₋₁ + Σⱼ₌₁ᵖ φⱼΔyₜ₋ⱼ + εₜ

Aquí, λ es la fracción de la muestra correspondiente a la ruptura candidata; \(d_t(\lambda)\) contiene los términos deterministas y los términos de ruptura candidatos del modelo elegido; las diferencias rezagadas recogen la dependencia de corto plazo. Con esta parametrización, la hipótesis nula de raíz unitaria es \(H_0: \alpha=0\), equivalente a que el coeficiente autorregresivo del nivel sea uno.

La configuración clásica de ZA contrasta una hipótesis nula de raíz unitaria sin ruptura de tendencia determinista con una alternativa en la que la serie es estacionaria alrededor de una tendencia con una ruptura. Las regresiones incluyen términos candidatos de ruptura para representar esa trayectoria bajo la alternativa, pero la calibración clásica de la nula supone que no hay efecto de ruptura. Esta distinción importa para interpretar el resultado y los valores críticos.

Si la prueba no rechaza, no demuestra que la serie sea un paseo aleatorio exacto. Una potencia baja, una muestra corta, una forma de tendencia mal elegida o una ruptura bajo la nula pueden impedir el rechazo. El rechazo es evidencia contra la hipótesis nula especificada de raíz unitaria, no prueba que todos los shocks sean temporales en cualquier régimen de mercado.

Primero se define un conjunto interior de fechas de ruptura admisibles. Se suelen recortar las fechas demasiado próximas a los extremos de la muestra para contar con información a ambos lados de la ruptura candidata. Para cada \(\lambda\) admisible se estima la regresión y se registra el estadístico t de \(\alpha\).

Se selecciona la fecha candidata cuyo estadístico es menor, es decir, más negativo:

λ̂ = arg min₍λ ∈ Λ₎ tα(λ) τZA = min₍λ ∈ Λ₎ tα(λ)

Por tanto, el estadístico de la prueba es el mínimo de una búsqueda, no un estadístico t calculado para una fecha especificada de antemano. La fracción de ruptura seleccionada depende de la muestra, la variante del modelo, la especificación de rezagos y el conjunto candidato recortado. No es automáticamente una estimación precisa de la fecha histórica de un acontecimiento.

La elección de rezagos también afecta las regresiones. Si se incluyen muy pocas diferencias rezagadas, puede quedar dependencia serial en los residuos; si se incluyen demasiadas, se pierde información, sobre todo en muestras cortas. Informa de la regla de rezagos y del recorte de fechas candidatas, en vez de tratar los valores predeterminados del software como parte de la teoría.

Las variantes tradicionales de ZA suelen llamarse modelos A, B y C. Los nombres cambian según el software; comprueba qué significa «intercepto», «tendencia» o «ambos» en cada implementación.

• El modelo A permite un cambio puntual en el intercepto, es decir, en el nivel
• El modelo B permite un cambio en la pendiente de la tendencia determinista
• El modelo C permite tanto un cambio del intercepto como de la pendiente de tendencia

La elección tiene contenido económico. Un salto permanente en el nivel de un tipo de cambio representa una trayectoria determinista distinta de un cambio gradual del crecimiento. Un modelo que incluye un cambio de tendencia sin respaldo puede gastar potencia estimando términos innecesarios; omitir un cambio plausible puede dejar mal especificada la regresión. Define el tipo de cambio que tiene sentido antes de comparar resultados.

Estas variantes no identifican la causa económica de un cambio. La fecha estimada puede ser la que mejor ajusta la muestra bajo el modelo elegido, aunque varios acontecimientos, cambios de medición o dinámicas omitidas también expliquen la forma.

Supón que una investigadora evalúa cinco fechas candidatas hipotéticas. La tabla muestra el estadístico t del término de nivel rezagado en cada regresión:

El mínimo es −4.0, por lo que la búsqueda selecciona \(\lambda=0.50\). Esto solo ilustra cómo se eligen la fecha y el estadístico. Los valores son inventados; el ejemplo no proporciona un valor crítico ZA ni una decisión de rechazo. En un análisis real, hay que definir conjuntamente el conjunto candidato, el modelo, la regla de rezagos y los valores críticos.

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Los valores críticos ordinarios de Dickey–Fuller o de la t de Student no son válidos para el estadístico mínimo. Aunque cada regresión para una fecha candidata se parezca a una regresión Dickey–Fuller aumentada, buscar entre muchas fechas y quedarse con el estadístico más negativo cambia la distribución bajo la nula.

Los valores de referencia apropiados dependen de la variante del modelo ZA y del diseño de búsqueda. Compara \(\tau_{ZA}\) con valores críticos obtenidos para la misma especificación de ruptura y la misma búsqueda de fechas. No interpretes el valor de la fecha seleccionada como si se hubiera fijado antes de observar la muestra, ni lo compares con una tabla ADF ordinaria.

El análisis original de Zivot y Andrews desarrolla el procedimiento con ruptura estimada a partir de las pruebas anteriores de Perron, que fijaban de antemano la fecha. Trata como desconocida la ubicación de la ruptura y determina la distribución de la búsqueda. Para conocer la evolución y los detalles, consulta el artículo original y el análisis de Perron con ruptura conocida.

El resultado depende de qué variable se contrasta. Un logaritmo de precios, un tipo de interés, un spread de precios, la volatilidad realizada y una serie de rentabilidades responden a preguntas distintas. Una ruptura de tendencia de largo plazo puede importar para un nivel y ser irrelevante para una rentabilidad de corto plazo. Un spread usado en un estudio de pares necesita su propia justificación económica y de cointegración.

En un estudio de trading técnico, rechazar ZA puede ser una pieza de evidencia de que el nivel analizado se representa mejor mediante una tendencia determinista con una ruptura que mediante la hipótesis nula de raíz unitaria especificada. No demuestra que la serie revierta a la media de forma predecible después de la fecha estimada ni proporciona reglas de entrada, salida o riesgo.

La fecha seleccionada utiliza toda la muestra explorada. Si se usa la misma fecha o el mismo resultado de la prueba para diseñar y evaluar una estrategia, las observaciones posteriores ya influyeron en la elección. Un análisis de trading necesita un diseño en tiempo real o móvil, evaluación fuera de muestra y costes de transacción realistas; la prueba no ofrece esas protecciones.

Los valores críticos ZA clásicos suponen que no hay ruptura de la tendencia determinista bajo la hipótesis nula de raíz unitaria. Investigaciones posteriores muestran que los procedimientos basados en el mínimo del estadístico t de Dickey–Fuller pueden rechazar en exceso cuando sí existe una ruptura de tendencia bajo esa nula; en los casos estudiados, el tamaño asintótico puede llegar a ser muy grande. El rechazo puede reflejar entonces una discrepancia entre el modelo nulo y los datos, y no evidencia de estacionariedad en torno a una tendencia. Consulta el análisis de Harvey, Leybourne y Taylor sobre pruebas infimum Dickey–Fuller.

La alternativa con una sola ruptura tampoco representa dos o más cambios, un pulso temporal, volatilidad cambiante o una ruptura gradual. Elegir entre A, B y C después de buscar el menor valor p añade otra capa de selección. Si son plausibles varias rupturas o una bajo la nula, utiliza un procedimiento diseñado para esa hipótesis y su calibración en vez de forzar la prueba ZA clásica.

La guía de Quandt–Andrews estudia fechas de ruptura desconocidas en parámetros de regresión; la guía de Bai–Perron cubre rupturas múltiples en regresiones. Son métodos relacionados, pero plantean hipótesis distintas y no sustituyen una prueba de raíz unitaria que contemple rupturas.

Un informe útil indica la serie y su transformación, periodo y frecuencia de la muestra, modelo determinista, regla de rezagos, rango de recorte, fracción de ruptura seleccionada, estadístico mínimo y valor crítico o valor p correspondiente. Explicita la hipótesis nula y si permite una ruptura. Si el resultado cambia con variantes defendibles del modelo o con otras elecciones de rezagos, muestra esa sensibilidad.

Usa la fecha estimada como diagnóstico, no como conclusión causal. Compárala con acontecimientos institucionales y del mercado conocidos, pero evita presentar una fecha seleccionada con los mismos datos como confirmación independiente de un acontecimiento. Mantén separadas la explicación económica, la decisión estadística y la implicación para operar.

Para un flujo de trabajo más amplio sobre raíces unitarias, consulta la guía de estacionariedad y usa ADF o PP como diagnósticos complementarios sin ruptura cuando corresponda. Si la pregunta trata de una relación de largo plazo entre variables no estacionarias, consulta la guía de cointegración de Engle–Granger. Ninguna prueba aislada determina la transformación correcta ni demuestra una estrategia rentable.