Tarification des options par transformée de Fourier de Carr–Madan
Découvrez comment l'amortissement de Carr–Madan, les fonctions caractéristiques à argument complexe décalé, les grilles FFT et les contrôles d'erreur numérique produisent des prix d'options
Réponse directe
La méthode de Carr–Madan multiplie la fonction de prix du call par un facteur d'amortissement exponentiel afin de lui donner une transformée de Fourier exploitable. Une fonction caractéristique décalée fournit ensuite la transformée, et une FFT peut reconstituer ensemble les prix selon le logarithme des strikes
La méthode est un moteur de tarification, pas un modèle
Carr–Madan part d'une fonction caractéristique risque-neutre du logarithme du prix terminal et d'une fonction de prix du call sur l'ensemble des log-strikes
Elle réorganise la même espérance actualisée dans l'espace de Fourier, où les calculs de type convolution deviennent des produits et des intégrales régulières
La méthode ne choisit ni la volatilité, ni les sauts, ni les primes de risque ; ces éléments entrent dans la fonction caractéristique propre au modèle
L'amortissement rend la transformée du prix du call intégrable
Lorsque le log-strike k tend vers moins l'infini, un call se rapproche de la région intrinsèque de type forward et n'est pas intégrable sur tout k
Multiplier C(k) par e^{αk}, pour un α positif approprié, fait décroître la fonction amortie aux deux extrémités sous la condition de moment requise
Le paramètre d'amortissement est un outil analytique, et non une préférence de marché ou un paramètre supplémentaire du modèle à calibrer
Un décalage complexe relie le prix et la distribution
Selon une convention courante, la transformée de Fourier de e^{αk}C(k) utilise la fonction caractéristique du logarithme du prix en u−i(α+1)
Un dénominateur issu du payoff transformé du call contient α et la fréquence u ; les signes changent si la convention de Fourier ou la définition du logarithme du prix change
Le décalage complexe exige que E[S_T^{α+1}] soit fini : un α arbitrairement grand peut donc sortir du domaine des moments du modèle
La FFT crée une paire de grilles liées
L'intégrale peut être évaluée séparément pour chaque strike, tandis qu'une FFT évalue en une seule opération une bande régulièrement espacée de log-strikes
Avec N points, l'espacement des fréquences η et l'espacement des log-strikes λ obéissent à une relation réciproque souvent écrite λη=2π/N
Une plage de strikes plus large signifie un espacement plus grossier pour un N fixé : couverture et résolution ne peuvent donc pas être choisies indépendamment
Plusieurs erreurs peuvent ressembler au comportement du modèle
Tronquer l'intégrale infinie sur les fréquences crée une erreur de queue, tandis que sa discrétisation crée une erreur de quadrature
L'extension périodique implicite de la transformée discrète crée du repliement spectral, et l'utilisation de strikes hors grille ajoute une erreur d'interpolation
Les poids de Simpson peuvent améliorer la quadrature dans certains cas, mais ils ne corrigent ni une plage insuffisante, ni des moments invalides, ni une fonction caractéristique instable
Alpha doit être choisi dans la bande des moments
Alpha doit être assez grand pour amortir le payoff, mais assez petit pour que la fonction caractéristique décalée existe et reste numériquement stable
Les bons choix dépendent de l'échéance, des paramètres du modèle, du comportement des queues et de la convention de transformée ; un alpha universel n'est pas garanti
Testez un intervalle de valeurs admissibles d'alpha et exigez que les prix concordent dans la tolérance cible au lieu d'optimiser une seule sortie
L'utilisation en production exige des contrôles indépendants
Retrouvez d'abord les prix de Black–Scholes, puis testez la parité put-call, la monotonie des strikes, la convexité, les bornes et la condition de martingale
Augmentez séparément N, la plage d'intégration et la précision afin d'identifier la convergence au lieu de modifier tous les contrôles en même temps
Comparez certains strikes avec une quadrature directe et une autre méthode de tarification ; la vitesse ne compte qu'une fois le budget d'erreur compris
Questions fréquentes
Que calcule la méthode de Carr–Madan ?
Elle utilise une fonction caractéristique risque-neutre et une inversion de Fourier pour calculer les prix d'options européennes, souvent sur de nombreux strikes à la fois
Pourquoi le prix du call est-il amorti ?
La fonction de prix du call non amortie n'est pas intégrable sur l'ensemble des log-strikes : l'amortissement exponentiel lui donne donc une transformée de Fourier exploitable
La FFT est-elle nécessaire ?
Non. L'intégrale de Carr–Madan peut être évaluée par quadrature directe ; la FFT est une implémentation efficace sur grille avec ses propres contraintes
Comment choisir alpha ?
Choisissez-le dans le domaine des moments finis du modèle, puis vérifiez la stabilité du prix sur une plage admissible raisonnable et avec plusieurs réglages numériques