Tarification des options par fonction caractéristique : explications
Comprenez comment les fonctions caractéristiques risque-neutres codent les distributions, permettent l'inversion de Fourier et deviennent des prix d'options grâce aux transformées de payoff
Réponse directe
Une fonction caractéristique φ(u)=E[e^{iuX}] code de manière unique la distribution d'un log-prix sous la mesure de tarification choisie. L'inversion de Fourier combine cette transformée avec une transformée de payoff pour retrouver la valeur actualisée d'une option
La fonction caractéristique stocke une distribution
Pour une variable aléatoire réelle X, φ(u)=E[e^{iuX}] est définie pour toute fréquence réelle u, car l'exponentielle complexe a un module égal à un
Contrairement à une fonction génératrice des moments, elle n'exige pas que les moments exponentiels soient finis pour exister sur la droite réelle
Ses valeurs sur l'ensemble des fréquences déterminent de manière unique la loi de X et codent ensemble la position, la dispersion, l'asymétrie, les queues et les discontinuités
La mesure de tarification et la variable d'état viennent en premier
Pour un payoff européen h(S_T), un prix risque-neutre de base est E^Q[e^{-∫r ds}h(S_T)] sous les conditions qui permettent cette mesure
Les méthodes de transformée posent souvent X_T=log S_T ou un log-prix forward, mais l'actualisation et la convention exacte de numéraire doivent correspondre à la transformée
Une fonction caractéristique sous la mesure historique ne peut pas être insérée dans un prix risque-neutre à moins que le changement de mesure ait été correctement spécifié
L'inversion de Fourier retrouve les probabilités et les densités
Lorsque la régularité suffisante est présente, une intégrale de Fourier inverse retrouve une densité ; les fonctions de répartition peuvent aussi être retrouvées par des formules d'inversion
L'inversion de Gil–Pelaez exprime des probabilités de queue ou cumulées au moyen d'une intégrale faisant intervenir la partie imaginaire de e^{-iux}φ(u)/u
Ce sont des intégrales impropres : le comportement près de zéro et aux grandes fréquences exige des limites analytiques et une attention numérique
Les payoffs ont besoin de leur propre traitement par transformée
Un payoff de call croît avec S_T : sa transformée de Fourier n'est donc pas intégrable sur la droite réelle ordinaire sans amortissement ou décalage de contour
On peut transformer un prix amorti, transformer le payoff dans une bande appropriée ou décomposer le call en probabilités actualisées de l'actif et du strike
Des formules différentes peuvent être mathématiquement équivalentes tout en utilisant des signes, des normalisations, des variables d'état et des arguments complexes différents
La facilité de calcul du modèle entre par φ
Black–Scholes, Heston, les diffusions affines avec sauts et de nombreux modèles de Lévy fournissent plus facilement des fonctions caractéristiques que des densités de transition
La fonction caractéristique reflète les hypothèses du modèle, les paramètres risque-neutres, l'horizon, l'état initial et les corrélations ou compensateurs de sauts éventuels
Connaître φ est un avantage de calcul, et non la preuve que la dynamique choisie correspond aux prix d'options observés ou aux rendements futurs
L'inversion numérique crée un budget d'erreur
Des bornes d'intégration finies créent une erreur de troncature, l'espacement des fréquences crée une erreur de quadrature et les grilles FFT peuvent ajouter des erreurs de repliement spectral et d'interpolation
Des annulations oscillantes et des branches du logarithme complexe peuvent produire des prix d'apparence lisse mais faux si elles sont traitées de façon incohérente
La quadrature adaptative, les variables de contrôle, l'amortissement, les formules alternatives et une précision accrue corrigent des erreurs différentes, et non un défaut universel
La validation doit dépasser un seul prix
Vérifiez φ(0)=1, la symétrie conjuguée φ(−u)=overline{φ(u)} et le moment de martingale requis par la convention du prix de l'actif
Comparez avec Black–Scholes ou une autre limite connue, la parité put-call, la monotonie, la convexité et une méthode numérique indépendante
Faites ensuite varier les bornes, les grilles, l'amortissement, les tolérances, les échéances et les strikes ; les chiffres stables doivent résister à des changements numériques raisonnables
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une fonction caractéristique ?
Il s'agit de φ(u)=E[e^{iuX}], une transformée à valeurs complexes qui détermine de manière unique la distribution de X
Pourquoi l'utiliser pour tarifer des options ?
De nombreux modèles réalistes fournissent φ sous une forme fermée ou semi-fermée même lorsque leur densité de transition et l'espérance du payoff ne sont pas directement disponibles
Une fonction caractéristique est-elle la même chose qu'une fonction génératrice des moments ?
Non. La fonction caractéristique utilise un argument imaginaire et existe pour tout u réel, tandis qu'une FGM peut échouer lorsque les moments exponentiels divergent
Puis-je tarifer un call en inversant directement φ ?
Pas sans traiter le payoff, la mesure, l'actualisation et l'intégrabilité ; les calls exigent généralement un amortissement, des décalages de contour ou une décomposition en probabilités