La méthode COS pour la valorisation des options expliquée
Découvrez comment la méthode COS combine une densité tronquée, des coefficients de Fourier-cosinus, des coefficients de payoff et des contrôles de convergence pour valoriser les options
Réponse directe
La méthode COS tronque une distribution du log-prix sur un intervalle fini, développe sa densité en série de cosinus et obtient les coefficients à partir de la fonction caractéristique. Les coefficients du payoff transforment ensuite le développement en prix d'option
COS est une méthode de valorisation par série de Fourier
Supposons qu'un état logarithmique terminal X possède une fonction caractéristique connue et qu'une option verse v(X) à l'échéance
Après actualisation sous la mesure de valorisation correspondante, la valeur recherchée est une intégrale de v(x) par rapport à la densité conditionnelle de X
COS approxime cette intégrale par une série de cosinus finie plutôt que de simuler des trajectoires ou de résoudre une grille de prix à rebours dans le temps
L'intervalle d'états infini est d'abord tronqué
Comme les log-prix vivent généralement sur la droite réelle, la méthode sélectionne un intervalle fini [a,b] contenant la majeure partie de la masse de probabilité économiquement pertinente
La probabilité située hors de [a,b] crée une erreur de troncature du domaine avant toute omission de termes de cosinus
Un intervalle trop étroit manque les queues ; un intervalle inutilement large exige davantage de termes pour résoudre les mêmes caractéristiques locales
Les fonctions caractéristiques fournissent les coefficients de densité
Sur [a,b], la densité est développée en cos(kπ(x−a)/(b−a)) pour tout entier k non négatif
Ses coefficients de cosinus sont approximés à partir de Re{φ(kπ/(b−a))e^{-ikπa/(b−a)}}, ce qui évite de retrouver explicitement la densité complète
Le terme de fréquence nulle reçoit un poids de moitié dans la somme primée usuelle, une petite convention qui influence sensiblement le niveau du prix
Les coefficients du payoff complètent la formule de prix
Chaque coefficient de densité est multiplié par l'intégrale correspondante de v(x) contre la base de cosinus sur [a,b]
Pour les calls et les puts européens, ces coefficients de payoff ont des formes analytiques ; d'autres payoffs peuvent nécessiter une intégration numérique stable
Une fois séparés les coefficients du modèle et ceux du payoff, de nombreux strikes ou contrats peuvent réutiliser une grande partie du travail de transformation
La convergence rapide est conditionnelle
Des densités régulières dont les coefficients de cosinus décroissent rapidement peuvent donner une convergence très rapide, souvent exponentielle, lorsque le nombre de termes N augmente
Des échéances courtes, des densités pointues, des masses, des queues épaisses ou des payoffs discontinus peuvent ralentir la convergence et produire des oscillations près des points non lisses
La réputation de rapidité de la méthode dépend donc de la régularité ; elle ne garantit pas une précision fixe pour chaque modèle et chaque payoff
Le choix de l'intervalle fait partie du budget d'erreur
Une heuristique courante utilise des cumulants, par exemple c₁±L√(c₂+√c₄), lorsque ces cumulants existent et que la convention s'applique
L'échelle L n'est pas universelle, et des cumulants d'ordre supérieur peu fiables ou inexistants peuvent rendre trompeuse une règle d'intervalle familière
Des bornes de probabilité de queue, des intervalles de référence plus larges et la stabilité selon les choix de [a,b] fournissent des éléments plus solides qu'un seul réglage heuristique
La vérification sépare l'erreur de plage de l'erreur de série
Augmentez [a,b] en gardant N suffisamment grand pour diagnostiquer la troncature du domaine, puis augmentez N sur un intervalle stable pour tester la convergence de la série
Vérifiez la fonction caractéristique en zéro, la convention de poids moitié, l'actualisation, les coefficients du payoff, la parité, les bornes, la monotonie et la convexité
Comparez certains prix avec une quadrature de Fourier directe ou une autre méthode indépendante avant d'utiliser COS dans des boucles de calibration
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la méthode COS ?
C'est une méthode de valorisation des options qui approxime une densité terminale par une série de Fourier-cosinus dont les coefficients proviennent de sa fonction caractéristique
COS est-elle identique à la valorisation par FFT ?
Non. Les deux utilisent des transformations, mais COS évalue un développement en cosinus sur un intervalle d'états choisi au lieu d'exiger la même grille de strikes liée par FFT
Comment choisir l'intervalle [a,b] ?
Les heuristiques fondées sur les cumulants sont courantes, mais l'intervalle doit être validé avec des informations de queue et la stabilité des prix, car aucune largeur unique n'est universelle
Pourquoi la valorisation COS peut-elle être imprécise ?
Un intervalle étroit, trop peu de termes, une régularité faible de la densité, des discontinuités du payoff, des erreurs de coefficients ou des entrées de transformation invalides peuvent tous créer une erreur