Varianz im Vergleich zu Volatilität: Der Unterschied durch die Quadratwurzel, der die Bewertung verändert
Erfahre, warum Varianz das Quadrat der Volatilität ist, wie beide Größen über die Zeit aggregiert werden und warum VIX, Varianz-Swaps und Optionsrisiko nicht über einfache Durchschnitte verglichen werden können
Kurzantwort
Varianz mittelt quadrierte Abweichungen von Renditen; Volatilität ist ihre Quadratwurzel und wird normalerweise annualisiert. Eine Volatilität von 20 % entspricht 0.20² bzw. 0.04 Varianz, daher sind Mitteln, Skalieren und Handeln der beiden Größen nicht gleichwertig
Quadrieren verändert Einheiten und Gewichtung
Varianz arbeitet mit quadrierten Renditeeinheiten. Das Quadrieren entfernt Vorzeichen und gewichtet große Bewegungen überproportional. Die Standardabweichung bringt die Größe durch Ziehen der Quadratwurzel zurück in die ursprüngliche Renditeeinheit
Die Marktkonvention nennt die annualisierte Standardabweichung häufig „Volatilität“. Daher entsprechen 10 % und 30 % Volatilität 0.01 bzw. 0.09 Varianz. Der zweite Zustand hat dreimal so viel Volatilität, aber neunmal so viel Varianz
Zeitaggregation ist bei Varianz einfacher
Unter der Annahme unabhängiger, identisch verteilter Renditen addieren sich Varianzen über die Zeit. Volatilität skaliert deshalb mit der Quadratwurzel der Zeit und nicht mit der Zeit selbst. Eine Tagesvolatilität kann nicht einfach mit 252 multipliziert werden
Serielle Korrelation, wechselnde Regime, Intraday-Saisonalität, Sprünge und überlappende Fenster schwächen diese Abkürzung. Gib an, ob die Berechnung Handels- oder Kalendertage verwendet und welches Renditeintervall abgetastet wird
Durchschnittliche Volatilität ist nicht die Volatilität der durchschnittlichen Varianz
Die Quadratwurzel ist nichtlinear. Der Durchschnitt mehrerer Volatilitätswerte unterscheidet sich im Allgemeinen von der Quadratwurzel ihrer durchschnittlichen Varianz. Das folgt direkt aus Jensens Ungleichung
Bei 10 % und 30 % Volatilität beträgt der einfache Volatilitätsdurchschnitt 20 %. Die Quadratwurzel der durchschnittlichen Varianz ist √((0.01 + 0.09) ÷ 2), also etwa 22.36 %. Die Wahl verändert Exposure und Vergleiche
Portfolios brauchen Kovarianz und nicht nur die Volatilität einzelner Bestandteile
Die Portfoliovarianz kombiniert die Varianz jedes Vermögenswerts mit der Kovarianz zwischen den Vermögenswerten. Zwei volatile Vermögenswerte können ein weniger volatiles Portfolio bilden, wenn sich ihre Renditen nicht gemeinsam bewegen; Korrelationen können in Stressphasen ebenfalls steigen
Die Gewichtung einzelner Volatilitäten und die Bezeichnung des Ergebnisses als Portfoliovolatilität ignoriert gemeinsame Bewegungen. Berechne zuerst die Varianz-Kovarianz-Struktur und ziehe danach die Quadratwurzel
Optionsmärkte handeln oft Varianz, während sie Volatilität quotieren
Eine Optionskette zeigt IV als lesbaren Volatilitätsprozentsatz. Optionsstreifen können jedoch Auszahlungen ähnlich einer Varianz replizieren, und die Indexmathematik der Cboe verwendet Gewichte, die mit der Replikation eines Varianz-Swaps zusammenhängen
Deshalb müssen gleiche Änderungen der quotierten IV nicht denselben wirtschaftlichen Wert haben, wenn die Ausgangsniveaus unterschiedlich sind. Der Anstieg von 10 % auf 11 % verändert die Varianz weniger als der Anstieg von 30 % auf 31 %
Der VIX zieht nach der Aggregation von Optionspreisen die Quadratwurzel
Die VIX-Methodik kombiniert Quotes zulässiger SPX-Optionen zu einem Maß der erwarteten 30-Tage-Varianz, interpoliert den Zielhorizont und berichtet dann die Quadratwurzel auf einer annualisierten Prozentskala
Der VIX ist daher kein einfacher Durchschnitt der angezeigten IVs einzelner Kontrakte. Skew und Strikegewichte sind relevant, sodass zwei Oberflächen mit ähnlicher ATM-IV unterschiedliche Indexwerte erzeugen können
Varianz-Swaps und Volatilitäts-Exposure sind nicht austauschbar
Die Auszahlung eines Varianz-Swaps ist linear in der realisierten Varianz relativ zu einem Varianz-Strike. Ein Volatilitäts-Swap würde auf realisierte Volatilität zahlen. Das Ziehen der Quadratwurzel führt zu Konvexität, daher unterscheiden sich faire Strikes und Hedges
Eine Optionsposition fügt Delta-, Gamma-, Skew-, Pfad- und Ausführungseffekte hinzu. Zu sagen, sie sei „long Volatilität“, zeigt nicht, ob ihr P/L einem Varianz-, Volatilitäts- oder einem anderen zustandsabhängigen Exposure ähnelt
Das Maß der realisierten Größe vor dem Vergleich dokumentieren
Gib einfache oder logarithmische Renditen, Schlusskurs-zu-Schlusskurs oder Intraday-Abtastung, Anzahl der Beobachtungen, Annualisierungsfaktor, Behandlung des Mittelwerts, Feiertage und fehlende Daten an. Unterschiedliche Konventionen können unterschiedliche realisierte Varianz erzeugen
Vergleiche implizite und realisierte Größen mit passenden Horizonten und Einheiten. Ziehe niemals eine Varianz wie 0.04 direkt von einer Volatilitätsquote wie 20 ab
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Volatilität?
Varianz mittelt quadrierte Abweichungen von Renditen. Volatilität ist ihre Quadratwurzel und wird normalerweise als annualisierter Prozentsatz angezeigt, wodurch das Ergebnis in Renditeeinheiten zurückgeführt wird
Wenn die Volatilität 20 % beträgt, wie hoch ist die Varianz?
In dezimaler annualisierter Einheit ist sie 0.20² = 0.04. Das als „4 %“ zu bezeichnen, kann verwirrend sein, weil Varianz quadrierte Einheiten verwendet; halte Konvention und Einheiten ausdrücklich fest
Warum skaliert Volatilität mit der Quadratwurzel der Zeit?
Wenn Renditeinkremente unabhängig sind und eine stabile Varianz haben, addiert sich die Varianz mit der Zeit. Durch Ziehen der Quadratwurzel wächst Volatilität mit √Zeit. Reale Märkte können diese Annahmen verletzen
Ist der VIX ein Durchschnitt der impliziten SPX-Volatilität?
Nein. Er verwendet einen festgelegten Streifen von SPX-Optionsquotes und Strikegewichte, um eine Varianz mit konstantem Horizont zu schätzen, und wandelt das Ergebnis anschließend in einen annualisierten Volatilitätsindex um