Lee–Mykland 跳跃检验：识别日内价格跳跃

已实现方差把一个交易时段内的日内收益平方加总。满足特定跳跃和采样假设时，双幂变差可以估计连续变动部分。二者都总结整个期间，因此单独使用时都无法指出异常大变动发生的时点。Lee 和 Mykland 的方法逐个区间评估收益，将每个候选变动与此前收益估出的波动率比较。

这一差别适用于事件研究、波动率建模和跳跃时点描述。在平静市场中，1% 收益可能很异常；在高波动交易时段则可能很普通。用近期局部波动率标准化，可以考虑到尺度变化。该方法最初用于识别日内跳跃到达并估计其实现幅度，但它不确定变动原因，也不说明该变动是否可交易（Lee 与 Mykland，2008）。

原假设针对某个区间内的价格过程：在满足正则条件的连续成分下，该区间没有发生跳跃。它并不是说收益等于零。连续价格路径也能产生很大的收益，尤其是在波动率较高时，因此只按变动幅度设定阈值并不充分。

设 \(P_i\) 为时间 \(t_i\) 在规则网格上观察到的价格。区间 \(i\) 的对数收益定义为

\[ r_i=\log(P_i/P_{i-1}). \]

检验要求价格字段和网格保持一致。研究者可以用成交价、买卖报价中点或其他有记录的代理变量，但更换代理变量可能同时改变收益和跳跃标签。必须明确处理交易时段的开盘和收盘、集合竞价、停牌及缺失报价。不能将收盘到次日开盘的收益不加说明地混入普通日内区间。

规则采样很重要，因为局部尺度和极值阈值是针对特定观测方案推导的。若观测时间不规则，应先选定站得住脚的同步或采样规则，并说明因此舍弃了哪些信息。公式不会自动修复陈旧报价、交叉市场、错误时间戳或孤立的数据记录错误。不同交易场所或资产的价格也不能未经对齐检查就当作同步数据合并。

这是对观测收益的检验，不是对潜在价格的检验。原始理论基于高频半鞅模型及其条件，这些条件不会自动适用于所有报价源或数字资产交易场所。记录数据来源、时区、网格、交易时段和筛选步骤，让其他分析者可以重建序列。

在候选时点 \(t_i\)，使用 \(r_i\) 之前的收益估计局部方差：

\[ \widehat{\sigma}_i^2 = \frac{1}{K-2} \sum_{j=i-K+2}^{i-1}|r_j|\,|r_{j-1}|, \qquad \widehat{\sigma}_i=\sqrt{\widehat{\sigma}_i^2}. \]

\(K\) 控制滚动窗口长度。求和项是相邻绝对收益的乘积，并排除候选收益 \(r_i\)。这种双幂变差形式有助于避免较早的孤立跳跃主导用于判断后续区间的尺度。已实现波动率文献解释了高频收益的和与乘积为何能估计二次变差的不同特征（Barndorff-Nielsen 与 Shephard，2002）。

该估计是局部尺度，不是整段交易时段的波动率预测。窗口较短时适应快但可能不稳定；较长时更平滑，却可能滞后于波动率变化。原论文的渐近论证要求采样间隔缩短时 \(K\) 增大，同时相对于完整期限仍保持较短。有限样本下需记录具体选择并检查敏感性；没有适用于所有资产、网格和市场状态的通用 \(K\)。

对估计值为零或接近零的情况也要制定规则。除以极小尺度可能把一个最小价位变动变成极端统计量。不要悄悄用任意下限替代：应检查原始报价、报告处理规则，并展示合理替代方案是否会改变被标记的区间。

局部跳跃统计量为

\[ L_i=\frac{r_i}{\widehat{\sigma}_i}. \]

符号保留观测收益的方向，绝对值衡量该变动相对于前置局部尺度的大小。分母估计使用相邻绝对收益乘积，但没有采用通常双幂变差的归一化常数。在论文的无跳跃渐近条件下，\(L_i\) 近似为 \(Z_i/c\)，其中 \(Z_i\) 是标准正态变量，\(c=E|Z_i|=\sqrt{2/\pi}\)。这对阈值校准很重要：将 \(L_i\) 当成标准正态统计量会使用错误的参照分布。

\(|L_i|\) 较大表示候选区间，而不是自动得出检验结论。应根据采样方案、窗口和搜索区间数，将它与相应阈值比较。正统计量表示观测收益向上，负统计量表示向下。无论正负，都不能识别经济原因，也不能单凭符号区分跳跃、连续变动和数据错误。

下图将一个候选收益与根据前序区间估出的局部尺度作概念性比较，不是真实价格图，也不代表检出的事件。

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: one sharp return pulse rises above a quiet sequence while a trailing window forms a soft local-volatility envelope; no prices, timestamps, thresholds, or detected events are shown. -->

扫描 \(n\) 个区间时，逐点阈值被重复应用多次，仅因检查的观测多就可能出现误报。Lee–Mykland 根据整个期限内绝对统计量的最大值校准阈值。令 \(c=\sqrt{2/\pi}\)，定义

\[ C_n= \frac{\sqrt{2\log n}}{c} - \frac{\log(\pi)+\log(\log n)} {2c\sqrt{2\log n}}, \qquad S_n=\frac{1}{c\sqrt{2\log n}}. \]

在论文的无跳跃渐近条件下，

\[ \frac{\max_{1\le i\le n}|L_i|-C_n}{S_n} \]

服从标准 Gumbel 极限分布，其累积分布函数为 \(F(x)=\exp(-e^{-x})\)。若整段交易时段的显著性水平为 \(\alpha\)，相应临界值为

\[ \beta_\alpha=-\log[-\log(1-\alpha)]. \]

当 \((|L_i|-C_n)/S_n>\beta_\alpha\) 时标记该区间。最大值校准涵盖所述期限内的区间搜索，但不会自动校正研究者对多个资产、交易日、采样网格或模型变体反复扫描的情况。额外比较需要另外设计并披露。

假设候选区间之前的三个收益依次为 \(-0.40\%\)、\(+0.30\%\)、\(-0.20\%\)，并仅为简化计算而设 \(K=4\)。那么

\[ \widehat{\sigma}_i^2 = \frac{|0.30||-0.40|+|-0.20||0.30|}{2} = 0.09\;(\%)^2, \qquad \widehat{\sigma}_i=0.30\%. \]

若下一期收益为 \(+1.20\%\)，局部统计量是 \(L_i=1.20/0.30=4\)。这表示观测收益是示例局部尺度的四倍，但还不能说明检验会拒绝原假设。

若假设交易时段有 \(n=78\) 个区间，渐近公式给出 \(C_n\approx3.14\)、\(S_n\approx0.424\)。在整段交易时段 1% 显著性水平下，\(\beta_\alpha\approx4.60\)，阈值约为 \(3.14+0.424(4.60)=5.10\)。统计量 4 低于阈值，因此该例在此水平下不会标记这个区间。所有数值均为假设，且此样本量下最大值近似可能较粗略。较小的 \(K=4\) 窗口仅用于演示算术，不是推荐设置。

这个例子说明，仅说“四个标准差”并不足以描述 Lee–Mykland 的判定。参照尺度、渐近标准化、窗口、区间数和显著性水平都会影响阈值。报告跳跃计数或事件列表时，应同时说明这些设置。

更细的网格理论上提高时间分辨率，但也会暴露更多报价噪声、价格离散性和时间戳不一致。较粗的网格会平滑部分短期变动，却可能把跳跃与相邻连续收益合并，或掩盖同一时段中的多次变动。因此，网格选择既改变检验可发现的事件，也改变数据与假设的匹配程度。

窗口 \(K\) 与网格相互关联。前置收益太少，局部双幂估计会不稳定；太多则可能混合不同波动率状态，使“局部”的含义变弱。应同时按观测数和时钟时间报告 \(K\)，说明窗口是否在交易时段边界重置，并展示事件列表在合理替代设置下的变化。不能未经核查就照搬其他市场、交易时段长度或观测频率的窗口建议。

标准 Lee–Mykland 并非通用的市场微观结构噪声解决方案。预平均等考虑噪声的方法会改变收益或波动率估计，需要匹配的推断；它们不是可直接互换的滤波器（Aït-Sahalia、Jacod 与 Li，2012）。预平均指南和双尺度波动率指南介绍了处理含噪高频价格的两种相关方法。

被标记的收益意味着，在给定阈值下，它难以由连续路径原假设解释。它不确认计划内公告、交易所故障、强平链条或其他原因造成了变动。应将时间戳与经核实的事件数据对照、查看底层成交和报价，并检查该区间之后的变动是否持续。后续解释要与统计检验结果分开。

该方法也不同于日终比较已实现方差和双幂变差。Lee–Mykland 统计量用于相对于局部波动率定位区间；日度变差差值则在不同假设下估计总跳跃变差。双幂变差指南和已实现波动率指南讨论这些期间层面的测度。Aït-Sahalia 与 Jacod 的幂变差检验用另一种构造检验离散观测路径中是否存在跳跃。其目标和假设不同，因此结果与 Lee–Mykland 区间列表一致或不一致，都不是一一对应的验证。

在策略研究中，跳跃标签只是后续研究的输入，不是买入或卖出指令。回测需要考虑信号何时可观察、价差与滑点、延迟、重叠事件窗口和样本外评估。应设定明确的损失或风险目标，并与适当基准比较。历史收益被统计检验标记，不意味着未来事件可预测或可获利交易。