已实现半方差：分别衡量上涨与下跌波动

设 \(r_i\) 是在一个固定区间内观察到的日内对数收益。已实现方差是收益平方之和：\(RV=\sum_i r_i^2\)。平方会使上涨和下跌都变为正值，并让较大变动占更大权重。该统计量衡量区间内累积的变动，却不说明变动来自上涨还是下跌。

已实现半方差在平方之前保留收益符号。正向部分汇总大于零的收益平方，负向部分汇总小于零的收益平方。只要使用相同观测和约定，两者之和就等于已实现方差。零收益对两边都没有贡献。这是一个计算恒等式，并不能证明两部分各自是独立的因果风险来源。

如果研究问题关注方向性变化，这种拆分就有用。例如，可以考察过去负收益的变动是否比过去正收益的变动包含不同的未来波动率信息。Barndorff-Nielsen、Kinnebrock 和 Shephard 将已实现半方差作为下行变动的高频测度提出。他们的工作论文探讨了它与二次变差及负向跳跃的关系。

对于收益 \(r_1,\ldots,r_n\)，定义：

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

其中 \(\mathbf{1}(\cdot)\) 在条件成立时取一，否则取零。因此：

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

不同论文可能使用不同名称或上标，因此报告应说明哪个项对应正收益、哪个项对应负收益。上式使用相对于零点未中心化的收益：不扣除样本均值、目标收益或无风险利率。围绕目标或均值计算的样本半方差是另一种统计量。

单位是收益单位的平方。如果收益以基点表示，每个分量的单位为 \(\text{bp}^2\)；如果用小数对数收益，单位则是小数收益平方。将百分比收益换算为基点时，平方测度的数值会乘以 10,000，因此必须同时注明单位。

假设某个虚构交易时段有以下六个基点收益：

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

正收益贡献 \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\)。负收益贡献 \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\)。零收益没有贡献。因此已实现方差为：

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

在这个小例子中，负向占比为 \(21/34\)，约 61.8%；正向占比约 38.2%。这些只是虚构总和中的份额，不是未来损失概率，也不是长期稳定非对称性的估计。六个收益远不足以进行推断；这项计算仅用于核对定义。

已实现波动率指南介绍未拆分的收益平方和。Bipower variation 指南回答另一个问题：存在罕见跳跃时如何估计连续变动。可以同时研究方向性半方差和抗跳跃变动测度，但两者不能互相替代。

如果潜在对数价格遵循连续半鞅，且在相关正则条件下采样越来越密，正、负收益半方差会分别收敛到连续二次变差的一半。在这种情况下，即使潜在连续变动没有持续的方向拆分，有限样本中两边的总量仍可能不同；采样随机性也会起作用。

发生跳跃时，跳跃幅度的平方会按其符号分配到正向或负向部分。这保留了总已实现方差会丢掉的信息，但不意味着每个负收益都是跳跃，或每个正收益都无害。较大的连续变动和跳跃都能产生较大的平方收益。符号只对观察到的增量分类，并不识别其经济原因。

下方的概念图将正、负增量分成两个视觉组。它不是数据图表或检验结果，也不代表底层过程存在持续的方向偏差。

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

已实现半方差可以作为独立预测变量纳入未来波动率模型。Patton 和 Sheppard 在对标普500指数和个股的研究中发现，在他们的样本和设定下，过去负收益变动与未来波动率的关系强于正收益变动。这是针对特定研究设计的实证结果，不是适用于所有市场的定律，也不保证新策略能预测得好。

要提出预测能力的主张，需明确目标和期限，选择合适的基准，并在样本外评估。某一天 \(RS^-\) 与 \(RS^+\) 的差异只是描述性信息，不能证明预测能力。回归还可能需要考虑波动率持续性、重叠期限、参数不确定性和数据选择。应使用与决策相符的损失函数评估预测误差。

作为多变量扩展，Bollerslev、Li、Patton 和 Quaedvlieg 提出已实现半协方差，按成对高频收益的符号拆分已实现协方差。他们的Econometrica 论文说明，同号和混合符号分量为何可能包含不同信息。单变量正负拆分更简单，不应被说成完整的协方差或组合风险分解。

“下行半方差”有不止一种定义。这里讨论的已实现测度将低于零的高频收益平方后求和。基于目标的下行统计量则将低于选定阈值（通常是目标收益或最低可接受收益）的收益平方。样本计算也可能围绕均值进行中心化。即使使用同一收益序列，这些定义回答的问题不同，计算值也可能不同。

两种已实现半方差都不是 Value-at-Risk 或 Expected Shortfall。VaR 描述指定损失分布和期限的分位数；Expected Shortfall 按指定约定概括超过某个分位数的损失。日内负收益平方和并不具有上述含义。它也不是完整的回撤测度，因为回撤取决于收益的顺序和路径。

如果图表或模型把 \(RS^-\) 称为“下行风险”，应在旁边直接定义。说明收益是相对于零点还是目标计算、采用什么采样频率，以及该数值是区间统计量、预测输入还是组合测度。GARCH 波动率指南介绍条件方差动态；已实现半方差则提供一种可考虑作为输入的方向性高频测度。

符号拆分取决于观察到的收益序列。提高采样频率可能引入买卖价反弹、价格离散性、过时报价和时间戳效应。如果价格 proxy 或采样网格变化，记录到的小幅价格变动可能反转符号。因此，微观结构噪声会同时影响平方幅度和收益被分配到哪一边。对所选序列而言，\(RV=RS^++RS^-\) 仍然成立，但这不能验证采样设计。

要做稳健比较，应记录价格字段、采样间隔、交易时段边界、零收益处理、异常值规则，以及不同资产的收益是否同步。对有依据的采样选择进行敏感性检查。如果核心问题是识别跳跃或抵抗噪声，应使用针对该目标设计的估计量或检验，而不是把符号拆分解释成校正。双尺度已实现波动率指南介绍一种替代噪声校正方法。

统计推断还需要抽样分布或合适的重抽样设计。正、负分量来自同一条路径，可能彼此相关；重叠窗口会增加依赖。置信区间或预测比较必须反映这些特征；仅比较两个点估计并不能检验其预测作用是否不同。

清晰的报告应注明资产或组合收益序列、观测窗口、收益定义、采样网格和单位。列出 \(RS^+\) 与 \(RS^-\) 的公式，确认两者之和能还原已实现方差，并说明如何处理零值和缺失观测。如果该测度用于预测模型，还应报告预测期限、基准、评估期和损失函数。

不要在未说明聚合假设的情况下，直接把已实现半方差转换成年化波动率。按选定约定，可以跨日累加得到描述性的年度总量，但其平方根不会自动成为分布已知的下行标准差。年化不能修正有偏价格输入、稀疏采样或选择效应。

其主要用途是严谨测量：保留每个观测收益的方向，同时沿用已实现变动的平方权重。结果可以显示值得进一步检验的模式，但它本身不能识别成因、衡量尾部概率，也不能把历史非对称性转化为交易信号。