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路径的二阶变化阅读约13分钟
二次变差：随机路径与波动率的桥梁
理解微小路径增量的平方和为何保留下来、如何产生Itô修正项，以及怎样连接扩散波动率与已实现方差
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
二次变差是在越来越细的时间分割上，把路径增量平方后求和所得的极限，用来度量累计的二阶运动。连续有限变差路径的二次变差为零，标准布朗运动的二次变差等于经过时间，它还产生Itô计算中的二阶修正项
先把分割上的增量平方
对[0,t]的分割π，构造Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})²，再让最大间隔趋近于零
若这些和在相应概率意义下收敛，其极限就是二次变差[X]_t
它描述单条路径上的累计变化，不等同于重复结果之间X_t的统计方差
光滑与有限变差路径会消失
连续有限总变差路径的二次变差为零，因为小增量的平方比绝对增量之和消失得更快
所以普通可微价格曲线不会在经典链式法则中产生二阶修正
二次变差提取的是一阶移动逐个变小时仍然保留的路径粗糙度
布朗粗糙度在每个尺度都保留
标准布朗运动在任意非平凡区间上总变差无穷，却满足[W]_t = t
直观上，大约有1/Δt个增量，每个增量的平方量级为Δt，所以总和不会消失
这是极限关系，并不表示dW/dt存在，也不表示每个增量平方都逐点等于dt
协变差记录共同的粗糙运动
二次协变差[X,Y]在细分割上累加乘积ΔX·ΔY
极化恒等式[X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y])把共同变化与各自二次变差连接起来
面对相关布朗驱动时，协变差把瞬时依赖带入组合和多元Itô公式
Itô公式保留二阶项
对dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t，连续二次变差为[X]_t = ∫_0^t σ_s² ds
随机增量的平方会累计而不消失，所以Taylor展开保留1/2 f''(X_t)d[X]_t
这一修正产生扩散定价方程，也把随机微积分与普通微积分区分开来
跳跃会加入自身大小的平方
含跳半鞅的二次变差，包括连续鞅变差与Σ_{s≤t}(ΔX_s)²
即使连续波动率不高，一个大跳跃也可能主导全天已实现的二阶运动
当经济问题关注来源差异时，应区分连续变差、跳跃和有限变差漂移
已实现方差是估计量而非极限本身
高频已实现方差把日内观测收益平方后求和，以近似潜在二次变差
采样太疏会漏掉运动，太密则放大买卖价反弹、价格离散、异步报价和错误数据
比较不同采样网格，明确处理跳跃，统一交易时段与收益定义后再解释为波动率
常见问题
如何简单理解二次变差？
把大量微小路径变化平方，并在越来越细的时间网格上相加后，最终仍然留下的运动
为什么布朗运动的二次变差是t？
长度Δt的增量，其平方量级为Δt，而大约t/Δt个这样的增量会累计为t
二次变差等于波动率吗？
不等于。扩散模型中它是积分方差，波动率通常指瞬时变化率或归一化后的平方根
跳跃如何影响二次变差？
每次跳跃都贡献其大小的平方，因此它同时包含连续鞅变差和离散跳跃变差
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权