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一个损失阈值与阈值之外的平均值阅读约15分钟
VaR与Expected Shortfall对比
比较VaR与Expected Shortfall的定义、计算、分散化性质、估计误差，以及使用两种尾部风险度量前所需的回测
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
Value at Risk是损失分位数，在置信水平α处标记一个约以1−α概率被突破的阈值。Expected Shortfall平均该最差尾部内的损失。ES描述VaR之外的严重程度，但需要更多尾部数据，两者都不能预测下一次实际损失
VaR识别一条边界
对CDF为F_L的损失L，VaR_α(L)=inf{l:F_L(l)≥α}
单日99% VaR为10，表示模型按其约定赋予损失超过10约1%的概率
它不表示最大损失为10、连续100天中恰有99天低于10，也不表示超越损失很小
Expected Shortfall平均选定尾部
对可积损失，稳健定义为ES_α(L)=(1−α)^{-1}∫_α^1 VaR_u(L)du
对连续分布，按所选尾部约定，它通常等于E[L|L≥VaR_α]
若分位数处有原子，简单条件平均会选取过多质量，积分定义能正确处理部分分位质量
两种度量看到不同组合
两个组合可以拥有相同VaR，但其中一个在阈值之外配置了大得多的损失
VaR并非对所有分布都次可加，有时会惩罚分散化或奖励集中的阈值效应
ES在标准定义与可积条件下具有一致性，但这不会让错误模型或陈旧数据变得可靠
估计以宽度换取尾部细节
历史VaR是顺序统计量；历史ES只平均所选排序之外的观测
高置信水平的ES有效观测极少，因此抽样不确定性可能大得多
参数、滤波、极值和蒙特卡洛估计加入了须匹配期限、依赖、流动性与状态的假设
回测提出不同问题
VaR检验可统计超越次数并评估超越时点是否出现异常聚集
ES不能只靠超越频率评估，可用适当评分或尾部损失诊断与VaR联合检验
通过回测只说明历史误差符合该窗口与检验，并不保证下一个状态或遗漏头寸
优化揭示有用的ES公式
Rockafellar–Uryasev的min_t{t+(1−α)^{-1}E[(L−t)_+]}最小值等于相应ES
标准条件下最优t是VaR分位数，许多情景ES问题因此可转成凸优化
结果仍取决于情景质量、头寸非线性、交易约束与损失映射的凸性
治理必须固定约定
声明损失符号、期限、置信水平、估值时点、数据窗口、权重、货币与缺失价格处理
同时报告不确定区间、超越记录、尾部贡献者、压力情景与统计模型外的限额
用替代窗口和依赖假设重算并调查变化，不要把一个数字当作风险证书
常见问题
VaR与Expected Shortfall有何区别？
VaR标记损失分位数；Expected Shortfall平均从该分位数到分布最差端的损失
99% VaR表示损失不能更大吗？
不是。模型本身预期会有超越，而VaR不说明这些超越可能多么严重
Expected Shortfall总是更好吗？
它包含尾部严重度并有更强分散性质，但更难估计且仍依赖模型
Expected Shortfall能回测吗？
能，但不能只数超越次数；应与VaR联合评价或比较实际尾部损失与预测
资料来源与延伸阅读
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选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
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