Giải thích Radon–Nikodym Derivative trong tài chính

Q tuyệt đối liên tục so với P, viết Q ≪ P, khi mọi sự kiện có xác suất không theo P cũng có xác suất không theo Q

Khi đó định lý Radon–Nikodym cung cấp density không âm Z = dQ/dP, duy nhất ngoài các tập có xác suất không theo P

Nếu P và Q tương đương, mỗi độ đo tuyệt đối liên tục so với độ đo kia và chúng đồng ý về những sự kiện bất khả

Với mọi sự kiện A, Q(A) = E_P[Z 1_A]. Với các probability measure, E_P[Z] = 1

Giá trị Z lớn hơn một làm tăng trọng số tương đối của outcome theo Q; giá trị dưới một làm giảm trọng số

Z không phải derivative theo thời gian hay giá. Nó là density của một độ đo so với độ đo khác

Với payoff X khả tích, E_Q[X] = E_P[ZX], tùy các điều kiện khả tích cần thiết

Đẳng thức này thay đổi trọng số, không thay đổi payoff hay sample space. Cùng outcome X được lấy trung bình theo cách khác

Khi hai độ đo tương đương và Z dương, dP/dQ = 1/Z đúng Q-gần như chắc chắn; các thay đổi density cũng tuân theo chain rule

Trong mô hình hữu hạn trạng thái, Z_s = q_s/p_s khi p_s dương, nên q_s = p_s Z_s

Đây là cùng logic với importance sampling: lấy mẫu theo một phân phối và hiệu chỉnh trung bình bằng likelihood ratio

Density biến động mạnh tập trung trọng số vào ít trạng thái và có thể tạo ước lượng Monte Carlo không ổn định dù đồng nhất thức vẫn chính xác

Với density cuối kỳ Z_T, định nghĩa Z_t = E_P[Z_T | F_t]. Process này là P-martingale không âm

Kỳ vọng có điều kiện thỏa E_Q[X | F_t] = E_P[Z_T X | F_t] / Z_t khi Z_t dương

Filtration quan trọng vì Z_t ghi lại phần tái trọng số cuối kỳ nhìn thấy được với thông tin có sẵn tại thời điểm t

Mô hình định giá tài sản tìm một measure tương đương Q, trong đó giá tài sản giao dịch được chiết khấu đúng cách là martingale hoặc local martingale

Định lý Girsanov mô tả density thay đổi drift Brownian nhưng giữ lại bất định khuếch tán và các sự kiện có xác suất không

Với money-market numeraire, stochastic discount factor có thể viết là chiết khấu nhân dQ/dP theo các giả định phù hợp

Risk-neutral Q là measure định giá, không nhất thiết là dự báo tần suất trong thế giới thực theo P

Một density được đề xuất phải không âm, tích phân bằng một, tôn trọng filtration và biến các tài sản chiết khấu dự định thành martingale

Hãy báo cáo measure cơ sở và measure đích, numeraire, horizon, quy ước density, khả tích và chẩn đoán số trước khi dùng các kỳ vọng đã biến đổi