Giải thích stochastic discount factor

Với payoff một kỳ X, giá hiện tại P thỏa P = E[mX] dưới xác suất vật lý

Cùng một m phải định giá mọi tài sản có trong mô hình. Ràng buộc chung này khiến khái niệm hữu ích để so sánh chứng khoán

Đơn vị và thời điểm rất quan trọng: m chuyển một đơn vị payoff tương lai thành giá trị hiện tại theo từng trạng thái, không thông qua một lãi suất chiết khấu cố định duy nhất

Trong mô hình người tiêu dùng đại diện, m tỷ lệ với marginal utility tương lai đã chiết khấu chia cho marginal utility hiện tại

Khi tiêu dùng khan hiếm và marginal utility cao, payoff đặc biệt có giá trị, nên m cao trong trạng thái đó

Cách diễn giải này phụ thuộc sở thích, tiêu dùng và giả định cân bằng. Bản thân phương trình định giá có thể dùng mà không cần chấp nhận một mô hình utility cụ thể

Với return R, điều kiện định giá là E[mR] = 1. Khai triển cho E[m]E[R] + Cov(m,R) = 1

Một tài sản trả kém khi m cao cung cấp ít bảo hiểm và nhìn chung cần expected return cao hơn để có người nắm giữ

Một tài sản trả trong trạng thái xấu có thể có giá cao hơn và expected return thấp hơn vì payoff của nó covariance dương với m

Với gross risk-free return R_f đã biết, E[m]R_f = 1, nên E[m] = 1/R_f trong thiết lập một kỳ

Giá trị trung bình xử lý chiết khấu thời gian thông thường, còn biến động của m giữa các trạng thái tạo ra điều chỉnh rủi ro

m tất định chỉ định giá qua thời gian và hàm ý không có risk premium dựa trên covariance trong mô hình đó

Trong các trạng thái rời rạc với xác suất vật lý p_s, state price q_s bằng p_s nhân discount factor của trạng thái m_s

Chuẩn hóa state price theo giá trái phiếu tạo ra xác suất risk-neutral. SDF, state price và pricing measure mã hóa cùng một hàm định giá theo các cách khác nhau

Cách diễn giải khác nhau: p_s là đầu vào tần suất vật lý, q_s là trọng số present-value, còn q_s đã chuẩn hóa là xác suất định giá

Nếu payoff giao dịch không bao phủ mọi trạng thái, nhiều stochastic discount factor dương có thể định giá cùng các tài sản quan sát được

Một mô hình hoặc tiêu chí bổ sung chọn một kernel cho payoff không được bao phủ, cũng như chọn một martingale measure

m ước lượng cũng có thể âm trong các phương pháp thống kê không ràng buộc, vi phạm điều kiện kernel dương cần cho các cách diễn giải no-arbitrage mạnh

Mô hình ứng viên hàm ý E[mR_i] = 1 cho mọi return được kiểm định. Các phiên bản mẫu cho thấy pricing error nhưng chứa bất định ước lượng và dữ liệu

Hansen–Jagannathan bound liên hệ volatility của mọi m hợp lệ với Sharpe ratio có thể đạt được, hạn chế các kernel dựa trên tiêu dùng quá trơn

Hãy báo cáo tập tài sản, horizon, thông tin điều kiện hóa, quy ước return, sai số lấy mẫu và việc m còn dương hay không trước khi đánh giá mô hình