Giải thích giá trạng thái Arrow–Debreu

Giả sử bất định tương lai được chia thành các trạng thái loại trừ lẫn nhau. Chứng khoán s chỉ trả một đơn vị nếu trạng thái s xảy ra

Mọi khoản thanh toán phụ thuộc trạng thái X khi đó có thể được viết thành tập hợp các đại lượng trạng thái X_s

Nếu mọi quyền đòi hỏi cơ bản đều được giao dịch hoặc có thể sao chép, chúng tạo thành cơ sở để định giá mọi khoản thanh toán trong không gian trạng thái hữu hạn đó

Gọi q_s là giá hôm nay của một đơn vị trong trạng thái s. Giá của khoản thanh toán X là tổng q_s X_s trên các trạng thái

Tính tuyến tính xuất phát từ việc kết hợp danh mục, còn giá trạng thái dương ngăn một khoản thanh toán không âm trong trạng thái có thể xảy ra trở thành cơ hội kiếm tiền miễn phí

Giá của một đơn vị phi rủi ro trong mọi trạng thái là tổng của tất cả q_s, bằng giá trái phiếu zero-coupon phù hợp

Nếu p_s là xác suất thực tế và m_s là hệ số chiết khấu ngẫu nhiên, q_s = p_s m_s

Một trạng thái thảm họa hiếm gặp có thể có giá trên mỗi đơn vị xác suất cao vì của cải được giao trong trạng thái đó đặc biệt có giá trị

Chia q_s cho giá trái phiếu sẽ cho xác suất trung lập rủi ro, tách việc chuẩn hóa khỏi giá trạng thái hiện tại ban đầu

Một butterfly có chênh lệch strike hẹp trả tiền chủ yếu khi tài sản cơ sở kết thúc gần strike ở giữa, qua đó xấp xỉ một quyền đòi hỏi phụ thuộc trạng thái hẹp

Khi khoảng cách strike thu hẹp, đạo hàm cấp hai theo strike của đường cong giá call châu Âu trơn sẽ khôi phục mật độ trung lập rủi ro đã chiết khấu theo các giả định tiêu chuẩn

Kết quả Breeden–Litzenberger này nối độ cong quan sát được giữa các strike với giá trạng thái, không trực tiếp với niềm tin thực tế

Giá call phải giảm theo strike và vẫn lồi vì quyền đòi hỏi digital và butterfly không thể có giá âm

Tính nhất quán theo thời hạn cùng việc xử lý đúng forward, chiết khấu, cổ tức và thanh toán cũng cần thiết trước khi diễn giải một bề mặt

Vi phạm có thể phản ánh báo giá cũ, nhiễu bid-ask, strike rời rạc, thực hiện sớm hoặc sự không nhất quán thực sự của đầu vào chứ không phải arbitrage có thể giao dịch

Nếu các khoản thanh toán được giao dịch không bao phủ mọi trạng thái, nhiều vector giá trạng thái có thể tái tạo cùng các giá quan sát được

Giới hạn của quyền đòi hỏi chưa giao dịch xuất phát từ các danh mục tái tạo thấp hơn hoặc cao hơn nó, nhưng để có một giá cần thêm tiêu chí khác

Thêm quyền chọn ở nhiều strike cải thiện không gian thanh toán được biểu diễn, dù các hợp đồng hữu hạn và nhiễu không tự động tạo ra một liên tục lý tưởng

Chuỗi quyền chọn thực tế thưa, nhiễu, không đồng bộ và giới hạn trong một khoảng strike. Đạo hàm cấp hai khuếch đại những khiếm khuyết đó

Nội suy, làm trơn, ngoại suy đuôi, thực hiện kiểu Mỹ, lãi suất và giả định cổ tức có thể thay đổi đáng kể mật độ suy ra

Hãy xác thực việc định giá lại, tính dương, tổng tích phân bằng giá trái phiếu, tính nhất quán của forward và độ nhạy với việc làm trơn trước khi dùng giá trạng thái