Giải thích martingale trong định giá quyền chọn

Gọi Mₜ là một quá trình và Fₜ là thông tin có sẵn tại thời điểm t. Một martingale thỏa mãn E[Mᵤ | Fₜ] = Mₜ với mọi thời điểm muộn hơn u, cùng các điều kiện khả tích

Điều kiện hóa là yếu tố thiết yếu. Dự báo sử dụng mọi thứ đã biết, không chỉ một mức trung bình dài hạn không điều kiện

Định nghĩa luôn nêu rõ một độ đo xác suất và bộ lọc thông tin. Một quá trình có thể là martingale dưới một độ đo nhưng không phải dưới độ đo khác

Trò chơi công bằng không có nghĩa giá trị tiếp theo bằng giá trị hiện tại. Nó có nghĩa các thay đổi có điều kiện dương và âm cân bằng nhau trong kỳ vọng

Các bước nhảy lớn, phân phối rộng và bất định phụ thuộc đường đi đều tương thích với tính chất martingale nếu các kỳ vọng cần thiết tồn tại

Martingale cũng không có nghĩa các gia số độc lập. Sự phụ thuộc vẫn có thể tồn tại miễn là giới hạn trung bình có điều kiện được giữ

Một tài sản có thể giao dịch thường có carry, cổ tức hoặc tác động tài trợ, nên giá chưa chiết khấu không nhất thiết là martingale dưới một độ đo định giá

Chia giá trị tổng lợi nhuận cho numeraire đã chọn, chẳng hạn tài khoản thị trường tiền tệ. Dưới các giả định không có chênh lệch giá phù hợp, quá trình sau chiết khấu trở thành martingale

Thay đổi numeraire làm thay đổi độ đo liên quan và những giá tương đối nào là martingale. Đơn vị tính là một phần của mệnh đề

Với khoản chi trả H có thể tái tạo tại thời điểm T, giá trị đã chiết khấu hôm nay bằng kỳ vọng có điều kiện dưới độ đo định giá của khoản chi trả đã chiết khấu

Đây không phải là lấy trung bình theo tần suất lịch sử. Độ đo được chọn để giữ cho giá tài sản có thể giao dịch sau chiết khấu nhất quán với việc không có chênh lệch giá

Công thức cô đọng một lập luận tái tạo động. Nó không loại bỏ các giả định về giao dịch, trạng thái mô hình, cổ tức hoặc tài trợ

Chọn các trọng số định giá tăng và giảm sao cho giá trị kỳ vọng tiếp theo của tài sản cơ sở sau chiết khấu bằng giá trị hiện tại sau chiết khấu

Áp dụng cùng các trọng số đó cho giá trị quyền chọn ở các nút tiếp theo và chiết khấu ngược. Lặp lại bước này sẽ cho giá tại nút gốc

Vì vậy, xác suất trung hòa rủi ro của cây là một trọng số martingale. Nó không phải tuyên bố rằng cổ phiếu thực tế có lợi nhuận vượt trội kỳ vọng bằng không

Submartingale có giá trị tương lai kỳ vọng có điều kiện ít nhất bằng hiện tại; supermartingale có giá trị đó nhiều nhất bằng hiện tại

Các khái niệm này xuất hiện với ràng buộc, tiêu dùng, thực hiện kiểu Mỹ và phòng hộ vượt mức, nơi đẳng thức chính xác có thể được thay bằng một giới hạn một phía

Tiền tố không tự nó dự báo lợi nhuận có thể giao dịch. Độ đo, chiết khấu, tính chấp nhận được và khả tích vẫn kiểm soát cách diễn giải

Dễ nghĩ rằng bất kỳ quy tắc dừng một trò chơi công bằng nào cũng giữ nguyên kỳ vọng. Các định lý dừng tùy ý cần tính bị chặn, khả tích hoặc những điều kiện liên quan

Chiến lược gấp thếp có thể vi phạm tính chấp nhận được hoặc cần vốn không giới hạn. Chúng không tạo ra một chênh lệch giá thực tế từ định nghĩa martingale

Bài toán dừng quyền chọn kiểu Mỹ dùng các thời điểm thực hiện và quá trình giá trị được định nghĩa cẩn thận, không phải lời hứa không giới hạn rằng thời điểm không thể quan trọng

Giá quan sát được bao gồm spread, báo giá cũ, ràng buộc và giao dịch rời rạc. Martingale của mô hình là một mệnh đề bên trong các lý tưởng hóa đã chỉ định

Martingale địa phương nghiêm ngặt, bong bóng, khoản phải thu không bị chặn và các vấn đề về sự tồn tại của độ đo cho thấy vì sao không phải lúc nào cũng có thể bỏ qua điều kiện kỹ thuật

Trước khi áp dụng công thức martingale, hãy nêu rõ quá trình, độ đo, numeraire, bộ lọc, tính khả tích của khoản chi trả và các chiến lược giao dịch sẵn có