Giải thích numeraire và đổi độ đo

Giá tính bằng đô la dùng tiền tệ làm đơn vị hiển thị, còn các mô hình định giá tài sản thường dùng tài khoản thị trường tiền tệ làm numeraire động

Nếu Nₜ là numeraire được chọn, giá tương đối của tài sản X là Xₜ/Nₜ. Đây là lượng numeraire cần để mua X

Thay đổi đơn vị không tạo ra giá trị. Nó sắp xếp lại cùng các payoff kinh tế và thay đổi kỳ vọng có điều kiện thuận tiện nhất

Numeraire phải có thể giao dịch và dương nghiêm ngặt trong khoảng thời gian liên quan để phép chia được xác định và mật độ độ đo vẫn hợp lệ

Một tài sản có thể chạm bằng không nhìn chung không thể làm numeraire toàn cục nếu không định vị hoặc giới hạn không gian trạng thái

Nguồn vốn, tài sản thế chấp, cổ tức và tái đầu tư phải được đưa vào nhất quán khi xác định giá trị tổng lợi nhuận của numeraire

Bắt đầu từ numeraire thị trường tiền tệ B và độ đo trung lập rủi ro Qᴮ, một numeraire khác N xác định độ đo mới Qᴺ thông qua mật độ dựa trên N/B

Dưới Qᴺ, mọi giá tài sản có thể giao dịch được chia cho N đều là martingale. Dưới Qᴮ, giá chia cho B mới có tính chất đó

Không có mệnh đề không phụ thuộc độ đo rằng giá tài sản gốc là martingale. Numeraire và độ đo luôn đi cùng nhau

Một payoff H tại T có thể được định giá bằng Nₜ nhân với kỳ vọng có điều kiện Qᴺ của H/N_T

Dùng numeraire khác làm thay đổi cả đơn vị payoff và trọng số xác suất, nên giá trị tiền tệ vẫn giữ nguyên khi các giả định nhất quán

Đồng nhất thức này là một phép biến đổi định giá, không phải dự báo rằng xác suất sự kiện theo một độ đo có tính hiện thực cao hơn theo độ đo khác

Chọn trái phiếu zero-coupon đáo hạn T P(t,T) làm numeraire. Dưới độ đo kỳ hạn T, các giá kỳ hạn giao tại T đủ điều kiện trở thành martingale

Điều này có thể loại bỏ chiết khấu ngẫu nhiên khỏi payoff trả tại T và đơn giản hóa cap, swaption, quyền chọn trái phiếu và các quyền đòi hỏi lãi suất khác

Ngày đáo hạn phải khớp với ngày thanh toán payoff hoặc các dòng tiền phải được phân rã cẩn thận. Một độ đo kỳ hạn không đơn giản hóa mọi ngày cùng lúc

Chọn một numeraire giống với một nhân tử dương trong payoff. Chia cho nó có thể biến một tích thành một chỉ báo đơn giản hơn hoặc một quyền chọn trao đổi

Trong Monte Carlo, payoff đã biến đổi có thể có phương sai thấp hơn hoặc tránh mô phỏng một nhân tử chiết khấu riêng, dù cải thiện không tự động xảy ra

Sự thuận tiện số học không thể sửa một mô hình không nhất quán. Độ đo đã biến đổi vẫn cần drift, hiệp phương sai và động lực mật độ chính xác

Với cổ phiếu, numeraire có thể giao dịch phải bao gồm cổ tức tái đầu tư chứ không chỉ giá niêm yết sau cổ tức

Trong ngoại hối, tài khoản thị trường tiền tệ nội địa và nước ngoài tự nhiên tạo ra các độ đo trung lập rủi ro nội địa và nước ngoài

Các payoff quanto và đa tiền tệ cho thấy những điều chỉnh drift do tương quan giữa tỷ giá, tài sản, lãi suất và numeraire được chọn tạo ra

Định giá một benchmark dưới hai numeraire và xác nhận mức khớp trong sai số giải tích hoặc số học sau khi đổi đơn vị trở lại

Kiểm tra chuẩn hóa mật độ, các phép kiểm tra martingale cho tài sản tương đối, sự khớp ngày payoff, quy ước tổng lợi nhuận và điều chỉnh drift được mô phỏng

Ghi lại numeraire, độ đo đi kèm, đạo hàm Radon–Nikodym, tiền tệ thanh toán và mọi ngày dòng tiền để kết quả có thể tái lập