Giải thích phép tính Stratonovich so với Itô
Tìm hiểu tích phân ngẫu nhiên Stratonovich và Itô khác nhau thế nào, cách chuyển đổi số hạng drift và vì sao mô hình tài chính phải nêu rõ quy ước
Câu trả lời trực tiếp
Phép tính Itô và Stratonovich mô tả cùng một động lực ngẫu nhiên sau khi chuyển đổi phù hợp, nhưng đánh giá các integrand có nhiễu tại những điểm khác nhau trong mỗi khoảng. Phép chuyển đổi thêm một số hạng drift từ quadratic variation, nên một phương trình chưa đầy đủ cho đến khi quy ước tích phân được nêu rõ
Điểm lấy mẫu thay đổi tích phân
Tích phân Itô dùng thông tin tại đầu trái của mỗi khoảng thời gian. Điều này khiến integrand có thể dự đoán và cho tích phân tính chất martingale dưới các giả định chuẩn
Tích phân Stratonovich dùng một giới hạn kiểu trung điểm. Nó gần với quy tắc chain thông thường hơn đối với các phép đổi tọa độ trơn
Không ký hiệu nào tự động thực tế hơn. Quy ước phù hợp phụ thuộc giới hạn mô hình, luồng thông tin và đại lượng được biểu diễn
Chuyển đổi quy ước làm thay đổi drift
Với diffusion một chiều, dX = a(X)dt + b(X)∘dW ở dạng Stratonovich trở thành dX = [a(X) + 1/2 b(X)b'(X)]dt + b(X)dW ở dạng Itô
Số hạng thêm không phải một điều chỉnh tùy ý. Nó xuất hiện từ quadratic covariation giữa integrand phụ thuộc trạng thái và chuyển động Brownian
Khi b không đổi, b' bằng zero và hai dạng trùng nhau. Volatility phụ thuộc trạng thái là nơi việc trộn lẫn âm thầm trở nên tốn kém
Ví dụ nhiễu nhân cho thấy khác biệt
Chọn b(X) = σX và drift Stratonovich bằng zero. Drift Itô tương đương là 1/2σ²X
Dùng σ = 40% khiến hiệu chỉnh đó bằng 8% của X mỗi năm trước mọi drift kinh tế được chỉ định riêng
Con số đó là thay đổi cách biểu diễn, không phải expected stock return hay alpha có thể giao dịch. Mô hình tài chính vẫn phải nêu measure, carry, dividends và ràng buộc [!TRYMARK] Giữ quy ước cùng kịch bản Tại một ngày hoặc checkpoint earnings, ghi lại đầu vào cổ phiếu, giả định IV, kết quả mục tiêu và việc mô hình dùng động lực Itô hay Stratonovich. Drift được sao chép mà thiếu quy ước có thể thay đổi Path trước khi thị trường di chuyển
Mô hình định giá thường nêu động lực Itô
Mô hình định giá thời gian liên tục thường dùng quá trình Itô vì chiến lược giao dịch tự tài trợ thích ứng với thông tin có sẵn trước cú sốc tiếp theo
Bổ đề Itô, martingale measure và suy dẫn Black–Scholes chuẩn đều được viết theo quy ước đó
Các mô hình vật lý suy ra từ giới hạn colored-noise có thể tự nhiên tạo phương trình Stratonovich. Hãy chuyển đổi chúng trước khi kết hợp với phép tính định giá hoặc hedge Itô
Chuyển đổi không sửa được model risk
Một phương trình có thể được chuyển đổi đúng mà vẫn bỏ qua jump, stochastic volatility, thanh khoản, hedge rời rạc hoặc tham số đặc tả sai
Hệ đa chiều cần toàn bộ Jacobian và cấu trúc covariance, không phải shortcut scalar half-times-b-times-b-prime
Luôn nêu SDE, quy ước tích phân, probability measure, đơn vị thời gian và cách diễn giải nhiễu trước khi so sánh kết quả
Câu hỏi thường gặp
Phép tính Stratonovich có đúng hơn Itô không?
Không. Chúng là các cách mô tả tương đương khi được chuyển đổi đúng. Dạng phù hợp phụ thuộc cách mô hình ngẫu nhiên phát sinh và cách dùng nó
Vì sao drift thay đổi khi chuyển đổi?
Integrand có thể cùng chuyển động với Brownian motion khi nó phụ thuộc trạng thái. Quadratic covariation của chúng tồn tại như một hiệu chỉnh drift hữu hạn
Tôi có thể dùng chain rule thông thường với quá trình Itô không?
Không trực tiếp. Bổ đề Itô thêm một số hạng bậc hai từ quadratic variation. Ký hiệu Stratonovich khôi phục quy tắc trông như thông thường nhưng chỉ với quy ước riêng của nó