Giải thích Quadratic Variation trong tài chính

Với một phân hoạch π của [0,t], lập Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})² và làm mịn lưới về không

Khi các tổng này hội tụ theo nghĩa xác suất phù hợp, giới hạn của chúng là quadratic variation [X]_t

Đây là khái niệm tích lũy theo đường đi, không phải cùng đối tượng với variance thống kê của X_t qua nhiều kết quả lặp lại

Đường đi liên tục có tổng biến thiên hữu hạn có quadratic variation bằng không vì các gia số nhỏ sau khi bình phương biến mất nhanh hơn tổng trị tuyệt đối của chúng

Đó là lý do các đường giá khả vi thông thường không tạo hiệu chỉnh bậc hai trong chain rule cổ điển

Quadratic variation tách phần gồ ghề vẫn nhìn thấy sau khi các chuyển động bậc nhất riêng lẻ đã trở nên cực nhỏ

Brownian motion chuẩn có tổng biến thiên vô hạn trên mọi khoảng không tầm thường nhưng thỏa [W]_t = t

Theo trực giác, khoảng 1/Δt gia số mỗi gia số có bình phương cỡ gần Δt, nên tổng của chúng vẫn có bậc một

Đây là mệnh đề về giới hạn, không phải khẳng định đại số từng điểm rằng dW/dt tồn tại hoặc mọi bình phương gia số đều bằng dt

Quadratic covariation [X,Y] cộng các tích ΔX·ΔY trên các phân hoạch mịn

Phân cực cho [X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y]), liên kết biến thiên chung với các quadratic variation riêng

Với các driver Brownian tương quan, covariation đưa phụ thuộc tức thời vào công thức Itô cho portfolio và đa biến

Với dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t, quadratic variation liên tục là [X]_t = ∫_0^t σ_s² ds

Khai triển Taylor giữ 1/2 f''(X_t)d[X]_t vì các gia số ngẫu nhiên bình phương tích lũy thay vì biến mất

Hiệu chỉnh này thúc đẩy các phương trình định giá khuếch tán và phân biệt phép tính ngẫu nhiên với phép tính vi phân thông thường

Với semimartingale có bước nhảy, quadratic variation bao gồm biến thiên martingale liên tục cộng Σ_{s≤t}(ΔX_s)²

Vì vậy một bước nhảy lớn có thể chi phối chuyển động quadratic realized của cả ngày ngay cả khi biến động liên tục vừa phải

Hãy tách biến thiên liên tục, bước nhảy và drift biến thiên hữu hạn khi câu hỏi kinh tế phụ thuộc vào các nguồn khác nhau đó

Realized variance tần suất cao cộng bình phương các return quan sát được trong ngày để xấp xỉ quadratic variation tiềm ẩn

Lấy mẫu quá thưa bỏ sót chuyển động, còn lấy mẫu quá dày làm phóng đại bid-ask bounce, tính rời rạc của giá, báo giá không đồng bộ và tick xấu

Hãy so sánh các lưới lấy mẫu, làm sạch bước nhảy rõ ràng, căn chỉnh giờ giao dịch và phân biệt định nghĩa return trước khi diễn giải ước lượng như volatility