Giải thích bổ đề Itô trong định giá quyền chọn

Với đường đi xác định trơn x(t), thay đổi của f(t, x) cục bộ được mô tả bằng đạo hàm theo thời gian và đạo hàm bậc nhất theo x

Đường đi khuếch tán liên tục nhưng không khả vi trơn theo nghĩa thông thường ở bất kỳ đâu. Gia số ngẫu nhiên của nó trong một khoảng ngắn có quy mô bằng căn bậc hai của thời gian

Quy mô đó khiến số hạng Taylor bậc hai lớn ngang số hạng thời gian thông thường. Bỏ nó đi sẽ loại bỏ tác động sau này xuất hiện dưới dạng gamma trong định giá quyền chọn

Viết gia số Brownian là dW. Trong cách ghi sổ Itô, dW² đóng góp dt, còn dt² và dt·dW triệt tiêu ở bậc liên quan

Đây là cách viết tắt cho một giới hạn theo đường đi: tổng các gia số Brownian bình phương hội tụ về thời gian trôi qua khi phân hoạch ngày càng mịn

Nó không phải đại số thông thường nói rằng mọi cú sốc ngẫu nhiên bình phương đều bằng thời gian. Quy tắc thuộc về tích phân ngẫu nhiên và quy ước giới hạn của nó

Giả sử dS = μSdt + σSdW và giá trị quyền chọn là V(t, S). Bổ đề Itô cho biến thiên ngẫu nhiên cục bộ của nó

Drift là Vₜ + μS Vₛ + one-half σ²S²Vₛₛ. Số hạng ngẫu nhiên là σS VₛdW, trong đó các chỉ số dưới biểu thị đạo hàm riêng

Delta Vₛ nhân với cú sốc bậc nhất, còn gamma Vₛₛ đi vào drift cùng bậc thời gian thông qua biến thiên bậc hai

Ngay cả khi cú sốc giá ngẫu nhiên có kỳ vọng có điều kiện bằng zero, tính lồi khiến biến động tăng và giảm tác động không đối xứng lên giá trị quyền chọn

Số hạng one-half σ²S²Gamma đo đóng góp độ cong cục bộ này. Biến động cao hơn làm tăng tốc độ mà payoff cong tích lũy giá trị được mô hình hóa

Điều này không nói long gamma đảm bảo sinh lời. Theta, phí đã trả, đường đi thực tế, nhảy, thay đổi độ lệch và chi phí quyết định P&L thực tế

Kết hợp một quyền chọn với âm delta của nó trong tài sản cơ sở. Theo giả định khuếch tán, các số hạng dW triệt tiêu tức thời

Danh mục cục bộ còn lại được mô hình hóa là không có rủi ro, nên không có arbitrage yêu cầu nó sinh lợi theo lãi suất phi rủi ro sau khi xử lý nhất quán cổ tức hoặc carry

Thay điều kiện đó vào sẽ loại μ và tạo ra phương trình đạo hàm riêng Black–Scholes. Chính việc tái tạo, không phải dự báo lợi suất, xác lập quan hệ giá

Với nhiều khuếch tán có tương quan, khai triển gồm các đạo hàm bậc hai chéo được gia quyền bởi hiệp phương sai. Các số hạng đó kết nối tương quan với độ cong chung

Thay đổi quá trình trạng thái làm thay đổi toán tử sinh và phương trình định giá. Mô hình biến động cục bộ, biến động ngẫu nhiên và lãi suất đều dùng các khai triển Itô liên quan

Với các hàm không đủ trơn, biên và điểm gấp khúc cần xử lý yếu, tổng quát hoặc số học thay vì vi phân tùy tiện

Quá trình nhảy không phù hợp chỉ với quy tắc Brownian liên tục. Công thức biến thiên của nó gồm các đóng góp nhảy gián đoạn và thường dẫn đến một phương trình vi-tích phân

Phòng hộ thực tế là rời rạc và tốn chi phí, nên triệt tiêu số hạng dW vô hạn không loại bỏ rủi ro khoảng trống giá, thanh khoản, tham số hay thực hiện

Dùng bổ đề Itô để hiểu cơ chế mô hình, sau đó nêu quá trình, độ trơn, độ đo và giả định giao dịch trước khi diễn giải giá hoặc Greek