Giải thích định lý Girsanov trong định giá quyền chọn

Dưới độ đo vật lý P, một cổ phiếu có thể tuân theo dS/S = μdt + σdWᴾ, trong đó μ đại diện cho lợi suất kỳ vọng được mô hình hóa

Độ trôi đó liên quan đến dự báo và lựa chọn danh mục, nhưng giá trị quyền chọn không kinh doanh chênh lệch không nên phụ thuộc vào một ước tính tùy ý của μ trong một mô hình khuếch tán đầy đủ

Di chuyển từ xác suất vật lý sang xác suất định giá đòi hỏi nhiều hơn việc thay một ký hiệu bằng ký hiệu khác. Nó đòi hỏi một phép biến đổi độ đo hợp lệ

Đạo hàm Radon–Nikodym xác định độ đo mới gán trọng số cho các sự kiện so với độ đo cũ thế nào cho đến mỗi thời điểm

Đối với các mô hình Brownian, mật độ này thường được viết dưới dạng một hàm mũ ngẫu nhiên xây dựng từ một quá trình thường ký hiệu là λ

Mật độ phải dương và có kỳ vọng bằng một. Nếu không, biểu thức được đề xuất có thể không xác định một độ đo xác suất tương đương

Với một mật độ hợp lệ, Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt trở thành chuyển động Brownian dưới độ đo mới Q, theo một quy ước dấu phổ biến

Thay dWᴾ = dWᵠ − λdt vào sẽ dịch độ trôi của mọi quá trình phơi nhiễm với cú sốc Brownian đó

Hệ số biến động nhân với dW không biến mất. Các thay đổi độ đo khuếch tán tương đương làm thay đổi độ trôi, không thay đổi cấu trúc hiệp phương sai tức thời

Đối với cổ phiếu không trả cổ tức, chọn λ để độ trôi Q trở thành lãi suất ngắn r. Với lợi suất cổ tức q, độ trôi không có cổ tức thường là r − q

Khi đó, tài sản có tổng lợi suất chiết khấu là một martingale Q, và một khoản thanh toán có thể tái tạo có thể được định giá bằng kỳ vọng Q chiết khấu của nó

Kết quả không nói cổ phiếu thực tế kiếm được r trong thế giới thực. Nó nêu cách độ trôi của cổ phiếu xuất hiện dưới độ đo định giá được chọn

Trong trường hợp hệ số hằng đơn giản, λ = (μ − r) / σ theo quy ước dấu đã nêu và không có cổ tức

Với nhiều nguồn rủi ro, một vectơ giá rủi ro dịch chuyển độ trôi thông qua ma trận tải biến động. Không phải mọi độ trôi mong muốn đều có thể đạt được nếu các phơi nhiễm thiếu hạng

Trong các thị trường không đầy đủ, các thành phần của giá rủi ro có thể vẫn chưa được xác định bởi tài sản giao dịch, tạo ra nhiều hơn một độ đo martingale khả dĩ

Các điều kiện Novikov, Kazamaki hoặc liên quan thường được dùng để bảo đảm hàm mũ ngẫu nhiên là một martingale thực sự chứ không chỉ là martingale cục bộ

Tính tương đương cũng bảo toàn các sự kiện có xác suất bằng không. Một phép biến đổi không thể biến một đường đi thực sự bất khả thành khả dĩ mà vẫn tương đương

Hệ số bùng nổ, martingale cục bộ nghiêm ngặt, chân trời vô hạn hoặc tính chính quy yếu có thể làm mất hiệu lực của việc áp dụng công thức một cách tùy tiện

Đối với các quá trình có cú nhảy, thay đổi độ đo có thể làm thay đổi cường độ cú nhảy và phân phối kích thước cú nhảy cũng như độ trôi liên tục

Các mô hình định giá được hiệu chỉnh chỉ định trực tiếp các tham số trung lập rủi ro, nhưng kết nối chúng với các ước tính vật lý vẫn cần một mô hình phần bù rủi ro

Hãy nêu độ đo ban đầu, độ đo mục tiêu, mật độ, quy ước dấu, numeraire, chân trời và các điều kiện trước khi diễn giải động lực đã biến đổi