Giải thích điều kiện Novikov và Kazamaki

Với một martingale cục bộ liên tục M, hàm mũ ngẫu nhiên của nó là Z_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)

Z là một martingale cục bộ dương và do đó là một supermartingale, nên E[Z_t] có thể giảm xuống dưới giá trị ban đầu là một

Nếu bị mất khối lượng, Z_T không thể được dùng làm mật độ xác suất nếu không thay đổi cấu trúc dự định

Một mật độ trên khoảng thời gian hữu hạn cần Z_T ≥ 0 và E[Z_T] = 1, với quá trình mật độ được cho bởi các kỳ vọng có điều kiện

Tính khả tích đều kiểm soát họ quá trình trên toàn bộ khoảng thời gian và hỗ trợ việc đổi độ đo nhất quán tại các thời điểm dừng

Viết một biểu thức hàm mũ không chứng minh rằng nó chuẩn hóa về một hoặc xác định một độ đo tương đương

Một tiêu chí Novikov phổ biến là E[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞ với một khoảng thời gian hữu hạn cố định T

Với M = ∫θ_s dW_s, biến thiên bậc hai là ∫₀ᵀθ_s²ds, nên phép kiểm tra yêu cầu tính khả tích theo hàm mũ của tổng bình phương độ dịch chuyển drift

Tiêu chí này thuận tiện vì dùng biến thiên bậc hai, nhưng có thể mạnh hơn mức cần thiết

Các tiêu chí dạng Kazamaki kiểm soát exp(M/2), thường thông qua điều kiện submartingale hoặc tính khả tích đều trên các thời điểm dừng

Chúng có thể thiết lập tính chất martingale thực sự trong những trường hợp moment hàm mũ của biến thiên bậc hai theo Novikov là vô hạn

Phát biểu chính xác thay đổi theo khoảng thời gian và phiên bản định lý, vì vậy cần nêu rõ tiêu chí được trích dẫn và quy ước dấu

Cả hai điều kiện đều là phép kiểm tra đủ, không phải định nghĩa và nhìn chung không phải điều kiện cần

Nếu Novikov thất bại, Kazamaki, dao động trung bình bị chặn, các phép tính kỳ vọng trực tiếp hoặc lập luận riêng theo mô hình vẫn có thể hiệu quả

Nếu mọi phép kiểm tra thuận tiện đều thất bại, không thể đơn giản giả định tính martingale; hành vi martingale cục bộ nghiêm ngặt vẫn có thể xảy ra

Các thay đổi drift theo Girsanov và mật độ trung lập rủi ro thường dùng một hàm mũ ngẫu nhiên được xây dựng từ giá của rủi ro thị trường

Nếu mật độ là martingale cục bộ nghiêm ngặt thay vì martingale thực sự, độ đo định giá được đề xuất có thể bị khiếm khuyết hoặc không nhất quán giữa các khoảng thời gian

Vấn đề này cũng xuất hiện trong các ước lượng tỷ số khả dĩ, lọc, đối ngẫu tiện ích và các mô hình có hành vi giống bong bóng

Một điều kiện đúng với mọi T hữu hạn không nhất thiết cho tính khả tích đều trên một khoảng thời gian vô hạn

Định vị chứng minh các đồng nhất thức cục bộ nhưng tự nó không khôi phục kỳ vọng bị thiếu khi lấy giới hạn

Các hàm mũ có bước nhảy cần tiêu chí về tính dương và tính khả tích có xét đến bước nhảy; không nên sao chép nguyên công thức Novikov liên tục