การทดสอบ Zivot–Andrews: Unit Root ที่มีจุดเปลี่ยนซึ่งไม่ทราบตำแหน่ง

การทดสอบ Augmented Dickey–Fuller (ADF) อาจแยก unit root ออกจากกระบวนการอนุกรมนิ่งได้ยาก เมื่ออนุกรมมีจุดเปลี่ยนของระดับหรือแนวโน้มที่สมการถดถอยไม่ได้รวมไว้ การเลื่อนระดับครั้งเดียวหลังการเปลี่ยนนโยบาย การเปลี่ยนแปลงของแนวโน้มที่วัดได้ หรือเหตุการณ์ตลาดที่ไม่ปกติ อาจทำให้ข้อมูลทั้งช่วงดูมีความคงทนสูงกว่าแต่ละช่วงเมื่อเทียบกับเส้นทางเชิงกำหนดของตน

การทดสอบ ZA นำแนวคิดของ Dickey–Fuller มาปรับใช้กับวันที่เปลี่ยนที่ไม่ทราบตำแหน่ง โดยถามว่าหลักฐานคัดค้าน unit root แข็งแรงขึ้นหรือไม่ เมื่ออนุญาตให้ส่วนเชิงกำหนดของสมการถดถอยเปลี่ยนได้หนึ่งครั้ง วิธีนี้เหมาะเมื่อจุดเปลี่ยนเดียวเป็นสมมติฐานที่มีเหตุผลสำหรับคำถามนั้น ไม่ใช่เครื่องมือค้นหาการเปลี่ยนระบอบทุกชนิด

นี่ก็ยังเป็นการทดสอบ unit root ไม่ได้ทดสอบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งทำให้เกิดจุดเปลี่ยน ไม่ได้ประมาณกฎการซื้อขาย และไม่ได้พิสูจน์ว่าราคาจะกลับตัวเร็วพอให้ซื้อขายได้ บทเปรียบเทียบ ADF กับ Phillips–Perron อธิบายกรณีฐานที่ไม่มีจุดเปลี่ยน ส่วนคู่มือเรื่องอนุกรมนิ่งและ unit root อธิบายสมมติฐานในภาพกว้าง

รูปแบบผลต่างที่ใช้กันทั่วไปของสมการถดถอย ณ วันที่ผู้สมัครคือ

Δyₜ = dₜ(λ)′δ + αyₜ₋₁ + Σⱼ₌₁ᵖ φⱼΔyₜ₋ⱼ + εₜ

ในที่นี้ λ คือสัดส่วนของตัวอย่าง ณ จุดเปลี่ยนที่ทดสอบ dₜ(λ) ประกอบด้วยพจน์เชิงกำหนดและพจน์จุดเปลี่ยนของแบบจำลองที่เลือก ส่วนผลต่างที่หน่วงไว้ช่วยรองรับการพึ่งพากันในระยะสั้น ภายใต้การกำหนดพารามิเตอร์นี้ unit root สอดคล้องกับ H₀: α = 0 ซึ่งเทียบเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ autoregressive ในระดับเท่ากับหนึ่ง

แบบจำลอง ZA ดั้งเดิมทดสอบสมมติฐานศูนย์ว่ามี unit root และไม่มีจุดเปลี่ยนของแนวโน้มเชิงกำหนด เทียบกับสมมติฐานทางเลือกว่าอนุกรมนิ่งรอบแนวโน้มที่เปลี่ยนได้หนึ่งครั้ง มีพจน์จุดเปลี่ยนของวันที่ผู้สมัครในสมการเพื่อให้สมมติฐานทางเลือกแทนเส้นทางดังกล่าวได้ แต่การปรับเทียบสมมติฐานศูนย์แบบดั้งเดิมถือว่าไม่มีผลของจุดเปลี่ยนนั้น ความแตกต่างนี้สำคัญต่อการตีความผลและค่าวิกฤต

หากการทดสอบไม่ปฏิเสธสมมติฐานศูนย์ ก็ไม่ได้พิสูจน์ว่าอนุกรมเป็น random walk อย่างแท้จริง กำลังการทดสอบต่ำ ตัวอย่างสั้น รูปแบบแนวโน้มที่เลือกไม่เหมาะ หรือมีจุดเปลี่ยนภายใต้สมมติฐานศูนย์ ล้วนทำให้การทดสอบไม่สามารถปฏิเสธได้ การปฏิเสธเป็นหลักฐานคัดค้านสมมติฐานศูนย์ unit root ที่กำหนดไว้ ไม่ได้พิสูจน์ว่าทุกแรงกระแทกจะเกิดเพียงชั่วคราวในทุกภาวะตลาด

นักวิเคราะห์กำหนดชุดวันที่เปลี่ยนที่อนุญาตในช่วงกลางของข้อมูลก่อน โดยทั่วไปจะตัดวันที่ที่ชิดปลายช่วงออก เพื่อให้การถดถอยมีข้อมูลทั้งสองด้านของวันที่เปลี่ยนแต่ละวัน สำหรับ λ ที่อนุญาตทุกค่า จะประมาณสมการและบันทึกค่าสถิติ t ของ α

วันที่ที่เลือกคือค่าที่ให้สถิติต่ำที่สุด หรือเป็นลบมากที่สุด:

λ̂ = arg min₍λ ∈ Λ₎ tα(λ) τZA = min₍λ ∈ Λ₎ tα(λ)

ดังนั้นค่าสถิติทดสอบคือค่าต่ำสุดจากการค้นหา ไม่ใช่ค่าสถิติ t ของวันที่ระบุไว้ก่อน การเลือกสัดส่วนจุดเปลี่ยนขึ้นอยู่กับตัวอย่าง แบบจำลองย่อย การกำหนด lag และชุดวันที่หลังการตัดปลาย ไม่ควรถือว่าเป็นค่าประมาณวันที่เกิดเหตุการณ์ในอดีตที่แม่นยำโดยอัตโนมัติ

การเลือก lag ก็มีผลต่อสมการด้วย หากใช้ผลต่างที่หน่วงไว้น้อยเกินไป อาจเหลือความสัมพันธ์ตามลำดับเวลาในค่าคงเหลือ แต่ถ้ามากเกินไปจะใช้ข้อมูลและองศาอิสระมาก โดยเฉพาะตัวอย่างสั้น ควรรายงานกฎเลือก lag และช่วงวันที่ที่ตัดออก แทนการถือว่าค่าเริ่มต้นของซอฟต์แวร์เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎี

แบบ ZA ดั้งเดิมมักเรียกว่าแบบ A, B และ C ชื่อเรียกอาจต่างกันตามซอฟต์แวร์ จึงควรตรวจสอบว่า “intercept”, “trend” หรือ “both” ในการใช้งานนั้นหมายถึงอะไร

• แบบ A อนุญาตให้ intercept หรือระดับเปลี่ยนครั้งเดียว
• แบบ B อนุญาตให้ความชันของแนวโน้มเชิงกำหนดเปลี่ยน
• แบบ C อนุญาตให้ทั้ง intercept และความชันของแนวโน้มเปลี่ยน

การเลือกแบบมีความหมายต่อเนื้อหา การกระโดดถาวรของระดับอัตราแลกเปลี่ยนสื่อถึงเส้นทางเชิงกำหนดที่ต่างจากการเปลี่ยนแปลงการเติบโตอย่างค่อยเป็นค่อยไป แบบจำลองที่ใส่การเปลี่ยนแนวโน้มโดยไม่มีเหตุผลอาจสูญเสียกำลังการทดสอบเพราะต้องประมาณพจน์ที่ไม่จำเป็น ขณะที่การละเลยการเปลี่ยนที่เป็นไปได้อาจทำให้สมการกำหนดผิด ควรระบุประเภทการเปลี่ยนที่สมเหตุผลก่อนเปรียบเทียบผลทดสอบ

แบบเหล่านี้ไม่ได้ระบุสาเหตุทางเศรษฐกิจของการเปลี่ยน วันที่ประมาณได้อาจเป็นวันที่เหมาะกับข้อมูลที่สุดภายใต้แบบจำลองนั้น แม้อาจมีหลายเหตุการณ์ การเปลี่ยนวิธีวัด หรือพลวัตที่ไม่ได้ใส่ไว้ซึ่งอธิบายรูปแบบได้

สมมตินักวิจัยประเมินวันที่เปลี่ยนสมมติขึ้นมาห้าวัน ตารางแสดงค่าสถิติ t ของพจน์ระดับที่หน่วงไว้จากสมการแต่ละวันที่เลือก:

ค่าต่ำสุดคือ −4.0 การค้นหาจึงเลือก λ = 0.50 ตัวอย่างนี้แสดงเพียงวิธีเลือกวันที่และค่าสถิติ ตัวเลขเป็นค่าที่สมมติขึ้น และไม่ได้ให้ค่าวิกฤต ZA หรือข้อสรุปว่าจะปฏิเสธหรือไม่ ในการวิเคราะห์จริง ต้องกำหนดชุดวันที่ แบบจำลอง กฎเลือก lag และค่าวิกฤตร่วมกัน

<!-- learn:illustration -->

ค่าวิกฤต Dickey–Fuller หรือค่า t ของ Student แบบทั่วไปใช้กับค่าสถิติต่ำสุดนี้ไม่ได้ แม้สมการของแต่ละวันที่ผู้สมัครจะคล้ายการถดถอย ADF แต่การค้นหาหลายวันแล้วเก็บค่าที่เป็นลบมากที่สุดทำให้การแจกแจงภายใต้สมมติฐานศูนย์เปลี่ยนไป

ค่าอ้างอิงที่เหมาะสมขึ้นอยู่กับแบบ ZA และวิธีค้นหาวันที่ ให้เปรียบเทียบ τZA กับค่าวิกฤตที่ได้จากข้อกำหนดจุดเปลี่ยนและการค้นหาวันที่แบบเดียวกัน อย่าใช้ค่าที่วันที่เลือกเสมือนว่ากำหนดวันนั้นไว้ก่อนเห็นข้อมูล และอย่าเทียบค่าสถิติกับตาราง ADF ทั่วไป

งานดั้งเดิมของ Zivot และ Andrews พัฒนาวิธีประมาณจุดเปลี่ยนนี้ต่อจากการทดสอบของ Perron ที่กำหนดวันเปลี่ยนไว้ก่อน วิธีนี้ถือว่าตำแหน่งจุดเปลี่ยนไม่ทราบ และหาการแจกแจงสำหรับการค้นหาโดยเฉพาะ อ่านบทความต้นฉบับ และการวิเคราะห์ของ Perron ที่ทราบวันเปลี่ยน สำหรับพัฒนาการและรายละเอียดการใช้งาน

ผลขึ้นอยู่กับตัวแปรที่นำมาทดสอบ ลอการิทึมราคา อัตราดอกเบี้ย spread ราคา ความผันผวนที่เกิดขึ้นจริง และผลตอบแทนต่างตอบคำถามกัน จุดเปลี่ยนของแนวโน้มระยะยาวอาจสำคัญกับระดับราคา แต่ไม่เกี่ยวกับผลตอบแทนระยะสั้น ส่วน spread ที่ใช้ในงานศึกษาคู่สินทรัพย์ต้องมีเหตุผลด้านเศรษฐศาสตร์และ cointegration ของตนเอง

ในการศึกษาการเทรดเชิงเทคนิค การปฏิเสธ ZA อาจเป็นหลักฐานส่วนหนึ่งว่าระดับที่ทดสอบอธิบายได้ดีกว่าด้วยแนวโน้มเชิงกำหนดที่มีจุดเปลี่ยน แทนสมมติฐานศูนย์ unit root ที่ระบุไว้ ผลนี้ไม่ได้แสดงว่าอนุกรมจะกลับสู่ค่าเฉลี่ยอย่างคาดการณ์ได้หลังวันที่ประมาณ และไม่ได้ให้กฎเข้าออกหรือการบริหารความเสี่ยง

จุดเปลี่ยนที่เลือกใช้ข้อมูลทั้งช่วงที่ค้นหา หากใช้วันที่หรือผลทดสอบจากทั้งช่วงเดียวกันออกแบบและประเมินกลยุทธ์ ข้อมูลในอนาคตย่อมมีส่วนกำหนดการเลือก การวิเคราะห์การซื้อขายจึงต้องใช้การทดสอบแบบเวลาจริงหรือแบบ rolling ประเมินนอกตัวอย่าง และคิดต้นทุนธุรกรรมที่สมจริง การทดสอบนี้ไม่ได้ป้องกันปัญหาเหล่านั้นให้เอง

ค่าวิกฤต ZA แบบดั้งเดิมตั้งสมมติฐานว่าไม่มีจุดเปลี่ยนแนวโน้มเชิงกำหนดภายใต้สมมติฐานศูนย์ unit root งานวิจัยภายหลังแสดงว่า การทดสอบที่ใช้ค่าสถิติ t Dickey–Fuller ต่ำสุดอาจปฏิเสธบ่อยเกินไปเมื่อมีจุดเปลี่ยนของแนวโน้มอยู่ภายใต้สมมติฐานศูนย์จริง ในกรณีที่ศึกษา ขนาดการทดสอบเชิงเส้นกำกับอาจสูงมาก ดังนั้นการปฏิเสธอาจสะท้อนว่าแบบจำลองศูนย์ไม่เข้ากับข้อมูล มากกว่าจะเป็นหลักฐานของอนุกรมนิ่งรอบแนวโน้ม ดูบทวิเคราะห์ของ Harvey, Leybourne และ Taylor เกี่ยวกับการทดสอบ infimum Dickey–Fuller

สมมติฐานทางเลือกที่มีจุดเปลี่ยนเดียวก็แทนการเปลี่ยนสองครั้งขึ้นไป การกระเพื่อมชั่วคราว ความผันผวนที่เปลี่ยน หรือจุดเปลี่ยนที่ค่อย ๆ เกิดขึ้นไม่ได้ การเลือก A, B หรือ C หลังเห็นค่า p ต่ำสุดเพิ่มปัญหาการเลือกแบบจำลองอีกชั้นหนึ่ง หากมีเหตุผลให้เชื่อว่ามีหลายจุดเปลี่ยน หรือมีจุดเปลี่ยนภายใต้สมมติฐานศูนย์ ให้ใช้วิธีที่ออกแบบมาสำหรับสมมติฐานและการปรับเทียบดังกล่าว แทนการฝืนใช้ ZA แบบดั้งเดิม

คู่มือ Quandt–Andrews ศึกษาวันเปลี่ยนที่ไม่ทราบตำแหน่งในพารามิเตอร์ถดถอย ส่วนคู่มือ Bai–Perron ครอบคลุมจุดเปลี่ยนหลายจุดในสมการถดถอย ทั้งสองวิธีเกี่ยวข้องแต่ทดสอบสมมติฐานคนละแบบ ไม่ได้ใช้แทนการทดสอบ unit root ที่คำนึงถึงจุดเปลี่ยน

รายงานที่ดีระบุอนุกรมและการแปลงข้อมูล ช่วงเวลาและความถี่ของตัวอย่าง แบบจำลองเชิงกำหนด กฎเลือก lag ช่วงที่ตัดออก สัดส่วนจุดเปลี่ยนที่เลือก ค่าสถิติต่ำสุด และค่าวิกฤตหรือค่า p ที่ตรงกัน ระบุสมมติฐานศูนย์อย่างชัดเจนและบอกว่ารองรับจุดเปลี่ยนหรือไม่ หากผลเปลี่ยนไปตามแบบจำลองหรือจำนวน lag ที่ยังมีเหตุผลรองรับ ให้แสดงความไวของผล

ใช้วันที่ประมาณเป็นเครื่องมือวินิจฉัย ไม่ใช่ข้อสรุปเชิงเหตุและผล เปรียบเทียบกับเหตุการณ์สถาบันหรือตลาดที่ทราบ แต่หลีกเลี่ยงการนำวันที่ที่เลือกจากข้อมูลเดียวกันไปยืนยันเหตุการณ์หนึ่งอย่างเป็นอิสระ แยกคำอธิบายทางเศรษฐศาสตร์ ผลปฏิเสธทางสถิติ และผลต่อการซื้อขายออกจากกัน

สำหรับขั้นตอนวิเคราะห์ unit root ในภาพกว้าง ให้เทียบกับคู่มืออนุกรมนิ่ง แล้วใช้ ADF หรือ PP เป็นการตรวจสอบเสริมที่ไม่มีจุดเปลี่ยนเมื่อเหมาะสม หากต้องการศึกษาความสัมพันธ์ระยะยาวระหว่างตัวแปรที่ไม่เป็นอนุกรมนิ่ง ดูคู่มือ cointegration ของ Engle–Granger ไม่มีการทดสอบใดเพียงการทดสอบเดียวที่ระบุการแปลงข้อมูลที่เหมาะสม หรือพิสูจน์ว่ากลยุทธ์ทำกำไรได้