การทดสอบ KPSS: สมมติฐานศูนย์ สถิติ และแบนด์วิดท์

การทดสอบ Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin หรือ KPSS กลับด้านกับสมมติฐานศูนย์ของการทดสอบ Dickey–Fuller ที่คุ้นเคย สมมติฐานศูนย์คืออนุกรมมีความนิ่งเมื่อเทียบกับพจน์กำหนดแน่นอนที่ระบุ ส่วนสมมติฐานทางเลือกในกรอบดั้งเดิมอนุญาตให้องค์ประกอบ random walk มีความแปรปรวนนวัตกรรมเป็นบวก

สถิติ KPSS ที่สูงพอเป็นหลักฐานต่อต้านสมมติฐานศูนย์ความนิ่งระดับหรือแนวโน้มที่เลือก สถิติต่ำหมายถึงตัวอย่างยังไม่มีหลักฐานเพียงพอให้ปฏิเสธ ภายใต้แบบจำลองที่ใช้ ไม่ได้พิสูจน์ว่ากระบวนการจะนิ่งตลอดไป ค่าเฉลี่ยคงที่เสมอ หรือราคาจะกลับสู่ระดับที่ซื้อขายได้

คู่มือความนิ่งและยูนิตรูตแนะนำแนวคิดที่เกี่ยวข้อง ส่วนบทเปรียบเทียบ ADF กับ Phillips–Perronอธิบายการทดสอบสองชนิดที่ตั้งยูนิตรูตเป็นสมมติฐานศูนย์ ทั้งสองวิธีถามคำถามที่เสริมกัน ไม่ใช่แบบทดสอบเดียวกันที่ใช้แทนกันได้

KPSS เขียนอนุกรมที่สังเกตได้เป็น

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

โดย \(d_t\) คือส่วนกำหนดแน่นอน \(r_t\) คือองค์ประกอบ random walk และ \(\epsilon_t\) คือค่าคลาดเคลื่อนที่นิ่ง ในการทดสอบความนิ่งระดับ \(d_t\) มีค่าคงที่ ส่วนแบบแนวโน้มมีค่าคงที่และแนวโน้มเวลาเชิงเส้น

สมมติฐานศูนย์กำหนดความแปรปรวนนวัตกรรมของ random walk เป็นศูนย์ หรือ \(\sigma_u^2=0\) เมื่อไม่มี random walk อนุกรมจะแกว่งรอบค่าคงที่หรือแนวโน้มกำหนดแน่นอนที่ระบุ สมมติฐานทางเลือกยอมให้ \(\sigma_u^2>0\) ทำให้แรงกระแทกสะสมเป็นแนวโน้มสุ่ม แทนที่จะค่อย ๆ หายไปรอบเส้นแนวโน้ม

นี่คือแบบจำลองที่การทดสอบกำหนดไว้ ไม่ใช่ข้ออ้างว่าทางเลือกทุกแบบเป็น random walk ตามตำรา การเปลี่ยนโครงสร้าง ความคงทนแบบ fractional พลวัตไม่เชิงเส้น ความแปรปรวนที่เปลี่ยน หรือพจน์กำหนดแน่นอนที่เลือกไม่เหมาะ ก็ทำให้สมมติฐานศูนย์เข้ากับข้อมูลได้ไม่ดี การทดสอบระบุความขัดแย้งกับกรอบความนิ่งที่เลือก แต่ไม่ได้ระบุแบบจำลองทดแทนเพียงแบบเดียว

ถดถอยข้อมูลกับพจน์กำหนดแน่นอนที่เลือก แล้วเรียกค่าคลาดเคลื่อนว่า \(\hat e_t\) ผลรวมย่อยสะสมคือ

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

สถิติ KPSS มักเขียนเป็น

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

โดย \(n\) คือขนาดตัวอย่าง และ \(\hat{\omega}^{\,2}\) คือค่าประมาณความแปรปรวนระยะยาวของค่าคลาดเคลื่อน หากค่าคลาดเคลื่อนมีเครื่องหมายเดียวกันต่อเนื่อง \(S_t\) จะห่างจากศูนย์ การยกกำลังสองผลรวมย่อยทำให้ความเบี่ยงเบนที่สะสมต่อเนื่องมีน้ำหนักมากกว่าการเปลี่ยนเครื่องหมายเพียงครั้งคราว

สถิตินี้ไม่ติดลบ การเบี่ยงเบนสะสมที่มากเมื่อเทียบกับความแปรปรวนระยะยาวทำให้รักษาสมมติฐานความนิ่งได้ยาก ตัวส่วนสำคัญ เพราะความพึ่งพากันตามเวลาของค่าคลาดเคลื่อนเปลี่ยนความแปรผันที่ควรคาดของผลรวมย่อย แม้กระบวนการพื้นฐานจะนิ่ง

แบบระดับถามว่าอนุกรมนิ่งรอบค่าคงที่หรือไม่ แบบแนวโน้มตัดค่าคงที่และแนวโน้มเวลาเชิงเส้นก่อน แล้วตรวจส่วนที่เหลือ บางโปรแกรมเรียกกรณีเหล่านี้ว่า mu และ tau แต่ชื่อและรูปแบบผลลัพธ์ขึ้นกับซอฟต์แวร์

ตัวเลือกนี้เปลี่ยนทั้งค่าคลาดเคลื่อนและการแจกแจงอ้างอิง หากลืมแนวโน้มกำหนดแน่นอนในอนุกรมที่นิ่งรอบแนวโน้ม รูปแบบค่าคลาดเคลื่อนยาว ๆ อาจทำให้สถิติสูงเกินจริง การเพิ่มแนวโน้มโดยไม่มีเหตุผลก็เปลี่ยนแบบจำลองที่ทดสอบและอาจลดกำลังในการตรวจพบทางเลือกบางแบบ เลือกจากนิยามข้อมูลและคำถามเศรษฐกิจ แล้วรายงานให้ชัด อย่าสลับแบบจนได้ผลที่ต้องการ

ค่าวิกฤต KPSS มาจากการแจกแจงเชิงเส้นกำกับแบบไม่มาตรฐาน และต่างกันระหว่างกรณีระดับกับแนวโน้ม อย่าเทียบกับเกณฑ์ t หรือไคสแควร์ทั่วไป หรือใช้ตัวเลขจำตัวเดียวกับทุกสเปก ใช้ตารางหรือผลซอฟต์แวร์ที่ตรงกรณีและระบุระดับนัยสำคัญ

บางโปรแกรมให้เพียงช่วง p-value เพราะเทียบสถิติกับตารางค่าวิกฤตที่มีจำนวนจำกัด ให้รายงานช่วงที่ผลรองรับแทนการสร้างทศนิยมเพิ่ม ระบุกรณีระดับ/แนวโน้มและแหล่งค่าวิกฤตเพื่อให้ทำซ้ำได้

<!-- learn:illustration -->

ตัวประมาณความแปรปรวนระยะยาวที่ใช้กันมากถ่วงน้ำหนักอัตโควาเรียนซ์ของค่าคลาดเคลื่อน:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

ในที่นี้ \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) คืออัตโควาเรียนซ์ตัวอย่างที่ lag \(j\) โดยใช้ตัวหาร \(n\); วิธีคำนวณสำหรับตัวอย่างจำกัดอาจต่างกันตามแต่ละ implementation

ถ้าใช้น้ำหนัก Bartlett จะได้ \(w_j=1-j/(\ell+1)\) แบนด์วิดท์ตัดทอน \(\ell\) กำหนดว่าจะรวมอัตโควาเรียนซ์กี่ระยะและลดน้ำหนักเร็วเพียงใด แต่ละโปรแกรมอาจใช้ kernel กฎเลือกแบนด์วิดท์ และวิธีปรับสำหรับตัวอย่างจำกัดต่างกัน จึงต้องระบุเพื่อให้ทำซ้ำได้

แบนด์วิดท์นี้ไม่ใช่จำนวน lag ของผลต่างที่เพิ่มในสมการถดถอย ADF สำหรับ KPSS มันกำหนดค่าประมาณความแปรปรวนระยะยาว ส่วนใน ADF lag ของผลต่างเข้าอยู่ในสมการถดถอยเอง ซอฟต์แวร์อาจเรียกทั้งคู่ว่า lag ดังนั้นคำว่า “lag 4” อย่างเดียวไม่พอให้ทำซ้ำได้

แบนด์วิดท์สั้นเกินไปอาจละทิ้งการพึ่งพาระยะสั้นที่สำคัญ แบนด์วิดท์ยาวเกินไปอาจเพิ่มอัตโควาเรียนซ์ตัวอย่างที่มี noise ทั้งสองแบบเปลี่ยนค่าสถิติ ขนาด หรือกำลังของการทดสอบได้ โดยไม่มีทิศทางเดียวที่ใช้กับทุกชุดข้อมูล รายงาน kernel และกฎเลือก lag แล้วตรวจว่าทางเลือกสมเหตุผลที่กำหนดไว้ก่อนเปลี่ยนการตีความหรือไม่

การปรับด้วยความแปรปรวนระยะยาวเกี่ยวข้องกับการประมาณเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแบบ HAC แต่ไม่ได้ทำให้ KPSS ทนต่อการพึ่งพาทุกรูปแบบ การเปลี่ยนโครงสร้าง หรือพจน์กำหนดที่ระบุผิด คู่มือความแปรปรวนร่วม Newey–Westอธิบายบทบาทและข้อจำกัดของ HAC เพิ่มเติม

สมมติว่าการถดถอยแนวโน้มกับข้อมูลสังเคราะห์หกจุดให้ค่าคลาดเคลื่อน \(1,-1,0,0,-1,1\) ผลรวมเป็นศูนย์และตั้งฉากกับแนวโน้มเวลาเชิงเส้นตามคุณสมบัติของ residual จาก regression ที่มีแนวโน้ม ผลรวมย่อยคือ \(1,0,0,0,-1,0\) ผลรวมกำลังสองเท่ากับ \(2\)

เพื่อแสดงเลข ใช้ข้อตกลงอัตโควาเรียนซ์ตัวอย่างที่มีตัวหาร \(n\) และ Bartlett bandwidth เท่ากับหนึ่ง พจน์ความแปรปรวนคือ \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\) อัตโควาเรียนซ์ lag หนึ่งคือ \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\) และน้ำหนัก Bartlett เท่ากับ \(1/2\) ดังนั้น

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

การคำนวณหกจุดนี้แสดงกลไกเท่านั้น ตัวอย่างเล็กเกินไปสำหรับการตัดสิน KPSS แบบเชิงเส้นกำกับทั่วไป และห้ามนำค่าสถิติไปเทียบค่าวิกฤตตีพิมพ์ราวกับเป็นผลเชิงประจักษ์

การรัน KPSS คู่กับ ADF ช่วยให้เห็นว่าข้อสรุปขึ้นกับสมมติฐานศูนย์เพียงใด อ่านผลในฐานะหลักฐานจากแบบจำลองคนละแบบ:

การทดสอบอาจใช้การแก้ lag พจน์กำหนด ตัวอย่าง และการประมาณตัวอย่างจำกัดต่างกัน ปรับให้ตรงกันเมื่อเหมาะสมและบันทึกความต่าง อย่าเปลี่ยนสี่ช่องนี้เป็นกฎ differencing อัตโนมัติ การไม่ปฏิเสธไม่ได้แปลว่าสมมติฐานศูนย์เป็นจริง

การเปลี่ยนค่าเฉลี่ยครั้งเดียว แนวโน้มที่เปลี่ยน หรือการเปลี่ยนความแปรปรวน อาจทำให้กระบวนการที่นิ่งภายในแต่ละ regime ดูไม่นิ่งเมื่อใช้ข้อมูลทั้งช่วง ในทางกลับกัน รากที่ใกล้หนึ่งทำให้ข้อมูลจำกัดแยกจาก unit root ได้ยาก ตัวอย่างสั้น outlier หางหนา การปรับไม่เชิงเส้น และ fractional integration ก็ทำให้การประมาณอ้างอิงคลาดเคลื่อนได้

ก่อนรายงาน ให้พล็อตระดับ ข้อมูลกำหนดแน่นอนที่เลือก และ residual หากสงสัยการเปลี่ยนโครงสร้าง ใช้วิธีที่รองรับ break และระบุสมมติฐาน วิธีจัดการ break และค่าวิกฤต หากค้นหาวัน break หรือ bandwidth หลายค่า ให้เปิดเผยการค้นหา ค่า p ที่น้อยสุดจากการลองหลายแบบไม่ใช่ผลทดสอบที่ไม่ได้ถูกเลือก

KPSS ไม่ได้ทดสอบ cointegration ของ spread ระหว่างสินทรัพย์สองตัว คู่มือ Engle–Grangerอธิบายขั้นตอน cointegration จาก residual และปัญหาค่าวิกฤตเฉพาะ คู่มือ rank Johansenกล่าวถึงแนวทางระบบ ผล KPSS ของราคาตัวเดียวใช้แทนการวิเคราะห์เหล่านี้ไม่ได้

หากใช้ KPSS กับ residual หลังประมาณอัตรา hedge แบบจำลอง ARMA หรือวันที่ break ที่เลือก residual เหล่านั้นผ่านการประมาณมาก่อน การประมาณพารามิเตอร์และเลือกโมเดลอาจเปลี่ยนการแจกแจงภายใต้สมมติฐานศูนย์ อย่าสมมติว่าค่าวิกฤตปกติใช้ได้กับทั้ง pipeline ให้ใช้การทดสอบ residual ที่ปรับให้เข้ากับโมเดล หรือ bootstrap ที่ทำขั้นตอนประมาณซ้ำ

ระบุตัวแปรและการแปลง จำนวนข้อมูล สมมติฐานศูนย์แบบระดับหรือแนวโน้ม พจน์กำหนด kernel ความแปรปรวนระยะยาว กฎ bandwidth สถิติ ค่าวิกฤตหรือ p-value ที่ตรงกัน และระดับนัยสำคัญ แสดง sensitivity เมื่อทางเลือกมีเหตุผลและเปิดเผยโปร่งใสเท่านั้น อย่าเลือกผลที่นำเสนอง่ายที่สุดหลังลองหลายช่วงข้อมูลและหลายเวอร์ชัน

สำหรับข้อมูลตลาด ระบุวันที่ตัวอย่าง ความถี่ การจัดแนวช่วงซื้อขาย วิธีจัดการ missing และข้อมูลเป็นราคา ผลตอบแทน residual หรือ spread การไม่ปฏิเสธสมมติฐานศูนย์ KPSS ไม่ได้แปลว่า spread จะกลับเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยเร็ว ๆ นี้ กลยุทธ์ mean reversion ยังต้องกำหนด equilibrium ประเมินนอกตัวอย่าง ใช้สัญญาณได้ทันเวลาจริง และคำนึงถึง spread, funding, borrow และต้นทุน execution

การทดสอบระดับราคา log ตอบคนละคำถามกับการทดสอบผลตอบแทนซึ่งเป็นผลต่างอันดับหนึ่งของ log price การทำ differencing อาจลบแนวโน้มสุ่มในบางแบบจำลอง แต่เปลี่ยนตัวแปรที่ศึกษาด้วย และไม่ได้พิสูจน์ความสัมพันธ์ระยะยาวระหว่างสินทรัพย์ เลือกการแปลงตามปริมาณที่ต้องการศึกษาและรายงานชัดเจน

บทความ ปี 199290104-Y) ของ Kwiatkowski, Phillips, Schmidt และ Shin เสนอ KPSS เป็นการทดสอบ LM ว่าความแปรปรวนขององค์ประกอบ random walk เป็นศูนย์หรือไม่ บทความ ปี 1987 ของ Newey และ West เป็นแหล่งหลักเรื่องการประมาณ HAC ที่ positive semi-definite ส่วนการเปรียบเทียบสมมติฐานศูนย์ unit root ดูบทความ ปี 1979 ของ Dickey และ Fuller