ADF กับ Phillips–Perron: การทดสอบรากหน่วยต่างกันอย่างไร

ในสมการระดับแบบออโตรีเกรสซีฟ รากหน่วยหมายถึงแรงกระแทกอาจไม่จางหายไปจากระดับ เมื่อเขียนผลต่างอันดับหนึ่งเป็นสมการถดถอยกับระดับที่มีแล็กล่าช้า สมมติฐานจะชัดขึ้น: หากสัมประสิทธิ์ของระดับที่มีแล็กล่าช้าเป็นศูนย์ กระบวนการระดับจะมีรากเท่ากับหนึ่งภายใต้แบบจำลองที่กำหนด สัมประสิทธิ์ที่เป็นลบบ่งชี้ไปในทิศทางของสมมติฐานทางเลือกที่นิ่ง โดยต้องอาศัยพจน์กำหนดแน่นอนและสมมติฐานอื่นที่เหมาะสม

ดังนั้น สมมติฐานศูนย์ของการใช้งาน ADF และ PP โดยทั่วไปไม่ได้ระบุว่า “อนุกรมนิ่ง” แต่ระบุว่ามีรากหน่วย ส่วนสมมติฐานทางเลือกคือความนิ่งรอบองค์ประกอบกำหนดแน่นอนที่เลือก การไม่ปฏิเสธสมมติฐานศูนย์เพราะค่าสถิติไม่ติดลบมากพอไม่ได้พิสูจน์ว่ามีรากหน่วย ตัวอย่างอาจมีข้อมูลไม่เพียงพอที่จะแยกกรณีนี้ออกจากกระบวนการนิ่งที่มีความคงทนสูงและรากออโตรีเกรสซีฟใกล้หนึ่ง

เรื่องนี้ต่างจากการทดสอบที่ตั้งความนิ่งเป็นสมมติฐานศูนย์ เช่น KPSS และต่างจากการทดสอบการร่วมบูรณาการโดยตรง คู่มือเรื่องความนิ่งและรากหน่วย อธิบายแนวคิดที่กว้างกว่า ส่วน คู่มือ Engle–Granger กล่าวถึงกรณีพิเศษที่ผลรวมเชิงเส้นของอนุกรมที่ไม่นิ่งกลับมีความนิ่ง

สมการถดถอยสำหรับทดสอบรากหน่วยอาจไม่มีพจน์กำหนดแน่นอน มีค่าคงที่ หรือมีทั้งค่าคงที่และแนวโน้มเวลาเชิงเส้น ตัวเลือกเหล่านี้ไม่ใช่เพียงการจัดรูปแบบ ค่าคงที่ยอมให้มี drift ภายใต้สมมติฐานศูนย์รากหน่วย และยอมให้ค่าเฉลี่ยไม่เป็นศูนย์ภายใต้สมมติฐานทางเลือกที่นิ่ง แนวโน้มเวลาทำให้สมมติฐานทางเลือกที่นิ่งแกว่งรอบแนวโน้มกำหนดแน่นอนได้ การเลือกพจน์ทำให้แบบจำลองและการแจกแจงภายใต้สมมติฐานศูนย์เปลี่ยนไป

การใส่แนวโน้มที่ไม่จำเป็นอาจลดอำนาจการทดสอบ เพราะต้องประมาณพารามิเตอร์เพิ่ม การตัด drift หรือแนวโน้มที่มีอยู่จริงออกอาจทำให้ขนาดและการตีความของการทดสอบบิดเบือน เลือกข้อกำหนดโดยพิจารณาคำถามเกี่ยวกับกระบวนการสร้างข้อมูลและกราฟของอนุกรม ระบุข้อกำหนดอย่างชัดเจน และใช้ค่าวิกฤตที่ตรงกัน อย่าเลือกย้อนหลังเฉพาะตัวเลือกที่ทำให้ปฏิเสธสมมติฐานได้ตามต้องการ

หลักเดียวกันใช้กับราคาลอการิทึม สเปรด อัตราดอกเบี้ย และผลตอบแทน แนวโน้มขาขึ้นอาจสมเหตุสมผลกับระดับราคา แต่อาจไม่เหมาะกับผลตอบแทน การทดสอบไม่ได้เลือกตัวแปรทางเศรษฐกิจที่เกี่ยวข้องแทนคุณ พจน์กำหนดแน่นอนเป็นส่วนหนึ่งของสมมติฐาน ไม่ใช่รายละเอียดการเตรียมข้อมูลที่ควรซ่อนไว้

สมการถดถอย Augmented Dickey–Fuller เขียนได้ดังนี้

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

dₜ คือพจน์กำหนดแน่นอนที่เลือก และสมมติฐานศูนย์คือ H₀: γ = 0 ผลต่างที่มีแล็กล่าช้าที่เพิ่มเข้ามามีจุดประสงค์เพื่อทำให้ค่าคลาดเคลื่อนที่เหลือมีคุณสมบัติเหมาะสมกับการประมาณการแจกแจงของการทดสอบ พจน์เหล่านี้จำลองพลวัตระยะสั้นในสมการถดถอยแบบพาราเมตริก ไม่ได้เพิ่มข้อจำกัดเรื่องรากหน่วยอีกข้อ

อันดับแล็ก p มีความสำคัญ แล็กน้อยเกินไปอาจทำให้ยังมีสหสัมพันธ์ตามลำดับเวลาใน εₜ และทำให้การประมาณที่ต้องการอ่อนลง แล็กมากเกินไปใช้ดีกรีอิสระและลดอำนาจการทดสอบได้ โดยเฉพาะในตัวอย่างสั้น เริ่มจากจำนวนแล็กสูงสุดที่ระบุไว้ เปรียบเทียบเกณฑ์สารสนเทศที่สมเหตุสมผลกับการวินิจฉัยเศษเหลือ และรายงานว่าการเลือกแล็กใกล้เคียงทำให้ผลเปลี่ยนหรือไม่ แล็กที่ถูกเลือกมีค่าน้อยไม่ได้พิสูจน์ว่าการพึ่งพาที่เหลืออยู่ไม่มีผลเสีย Harris (1992)90022-Q) ศึกษาทางเลือกเชิงปฏิบัติเกี่ยวกับโครงสร้างแล็ก ขนาด และอำนาจการทดสอบของ ADF

การเลือกแล็กอาจยากในบางกระบวนการ Ng และ Perron แสดงว่าเมื่อรากของค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ใกล้ −1 เกณฑ์ AIC หรือ BIC แบบดั้งเดิมอาจเลือกแล็กเสริมน้อยเกินไปในกระบวนการทดสอบรากหน่วยที่พวกเขาศึกษา เกณฑ์สารสนเทศแบบปรับปรุงของพวกเขาออกแบบมาสำหรับกระบวนการที่ใช้การตัดแนวโน้มแบบ GLS และการทดสอบที่เกี่ยวข้อง นี่เป็นข้อควรระวังสำหรับพลวัตบางประเภท ไม่ใช่กฎทั่วไปว่าเกณฑ์หนึ่งหรือแล็กที่ยาวกว่าจะดีกว่าเสมอ

การทดสอบ Phillips–Perron เริ่มจากสมการแบบ Dickey–Fuller โดยไม่มีผลรวมของผลต่างที่มีแล็กล่าช้าแบบ ADF

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

จากนั้นปรับค่าสถิติทดสอบด้วยค่าประมาณความแปรปรวนระยะสั้นและความแปรปรวนร่วมระยะยาว รูปแบบทั่วไปของค่าประมาณความแปรปรวนระยะยาวรูปหนึ่งคือ

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

γ̂ⱼ คือออโตโคแวเรียนซ์ของเศษเหลือ K คือน้ำหนักเคอร์เนล และ ℓ คือการเลือกแบนด์วิดท์หรือจุดตัด นิยามที่แน่นอนต่างกันตามค่าสถิติ PP และธรรมเนียมของซอฟต์แวร์ แต่ความแตกต่างเชิงแนวคิดยังเหมือนเดิม: ADF เพิ่มผลต่างที่มีแล็กล่าช้าในสมการถดถอย ส่วน PP ใช้การปรับการพึ่งพาแบบไม่อิงพารามิเตอร์กับค่าสถิติจากสมการที่สั้นกว่า

PP ไม่ใช่แค่ “ADF ที่ใช้ค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานแบบ robust” การปรับนี้เปลี่ยนค่าสถิติรากหน่วยและการวิเคราะห์เชิงกำกับของมัน ผลลัพธ์จากการถดถอยแบบ robust ทั่วไปไม่ได้ทำให้ค่าวิกฤต t ปกติใช้ได้ เคอร์เนลและแบนด์วิดท์กำหนดว่าการปรับจะครอบคลุมการพึ่งพามากเพียงใด แบนด์วิดท์แคบเกินไปอาจพลาดสหสัมพันธ์สำคัญ ส่วนแบนด์วิดท์กว้างเกินไปอาจทำให้ค่าประมาณความแปรปรวนระยะยาวมีสัญญาณรบกวนมากขึ้น

<!-- learn:illustration -->

ภายใต้สมมติฐานศูนย์รากหน่วย ระดับที่มีแล็กล่าช้าเกิดจากแนวโน้มสุ่ม ไม่ใช่ตัวแปรอธิบายที่นิ่ง ดังนั้นค่าสถิติในตระกูล DF จึงมีการแจกแจงลิมิตแบบไม่เป็นมาตรฐาน แม้ตัวอย่างจะใหญ่ ตาราง t ทั่วไปก็ไม่ใช่การแจกแจงอ้างอิงที่เหมาะสม ค่าวิกฤตขึ้นกับว่ามีค่าคงที่หรือแนวโน้มเวลาหรือไม่ รวมถึงค่าสถิติและการใช้งานที่เลือก

ค่าสถิติ PP ถูกแปลงเพื่อคำนึงถึงการพึ่งพา แต่สมมติฐานศูนย์รากหน่วยยังต้องประเมินเทียบกับกฎการแจกแจงอ้างอิงแบบไม่เป็นมาตรฐานที่เหมาะสม ใช้ค่าวิกฤตหรือค่า p จากการใช้งานที่เชื่อถือได้และตรงกับพจน์กำหนดแน่นอนและค่าสถิติ อย่าเปรียบเทียบค่าสถิติ ADF จากข้อกำหนดหนึ่งกับค่าวิกฤต PP จากอีกข้อกำหนด และอย่าตีความอัตราส่วน t ของสัมประสิทธิ์ที่แสดงเป็นสถิติ Student t ทั่วไป

การปรับเทียบเชิงกำกับไม่ได้รับประกันพฤติกรรมที่ดีในทุกตัวอย่างจำกัด การศึกษา Monte Carlo ของ Schwert รายงานว่ากระบวนการทดสอบรากหน่วยไวต่อการกำหนดแบบจำลองผิด และวิธีต่าง ๆ มีพฤติกรรมในตัวอย่างจำกัดต่างกัน อ่านค่า p โดยพิจารณาความยาวตัวอย่าง การพึ่งพาในข้อมูล การตั้งค่าแล็กหรือแบนด์วิดท์ และข้อกำหนดของสมการถดถอยร่วมกัน

ขนาดของการทดสอบคือโอกาสที่จะปฏิเสธสมมติฐานศูนย์รากหน่วยที่เป็นจริง ส่วนอำนาจคือโอกาสที่จะปฏิเสธภายใต้สมมติฐานทางเลือกที่นิ่งซึ่งกำหนดไว้ การทดสอบอาจดูชัดเจนในตัวอย่างหนึ่ง แต่มีขนาดผิดภายใต้โครงสร้างการพึ่งพาจริง แล็ก ADF และการปรับความแปรปรวนร่วมระยะยาวของ PP จัดการปัญหาที่เกี่ยวข้องด้วยการประมาณคนละแบบ ผลของวิธีหนึ่งจึงไม่รับประกันความทนทานของอีกวิธี

สำหรับ ADF ให้ตรวจว่าหลังเพิ่มแล็กแล้วยังมีออโตคอร์เรเลชันในเศษเหลือหรือไม่ และการเพิ่มแล็กอีกหนึ่งตัวเปลี่ยนข้ออนุมานอย่างมีนัยสำคัญหรือเปล่า สำหรับ PP ให้รายงานเคอร์เนลและกฎเลือกแบนด์วิดท์ แล้วตรวจทางเลือกที่สมเหตุสมผล นี่คือการตรวจความไว ไม่ใช่การอนุญาตให้ลองหลายข้อกำหนดแล้วเก็บเฉพาะค่า p ที่เป็นประโยชน์ที่สุด ผลของ Ng–Perron ยังเตือนว่าการเลือกแล็กมีปฏิสัมพันธ์กับกระบวนการความคลาดเคลื่อนและการตัดแนวโน้มเชิงกำหนด เกณฑ์สารสนเทศแบบกลไกไม่สามารถแก้ทุกการออกแบบได้

ทั้งสองการทดสอบอาจมีอำนาจต่ำต่อสมมติฐานทางเลือกที่นิ่งแต่มีความคงทนสูง การไม่ปฏิเสธไม่ใช่หลักฐานเชิงบวกว่าจำเป็นต้องหาผลต่าง หากตัวอย่างสั้น รากใกล้หนึ่ง หรือข้อสรุปสำคัญต่อแบบจำลอง ให้พิจารณาหลักฐานเสริมและวิธีอื่นที่ระบุสมมติฐานชัดเจน แทนที่จะนับ ADF และ PP เป็นคะแนนเสียงอิสระ

การกระโดดของระดับ การเปลี่ยนแนวโน้ม ระบอบนโยบาย การเปลี่ยนหมุดค่าเงิน หรือการเปลี่ยนโครงสร้างตลาดอาจทำให้อนุกรมดูคงทนมาก ทั้งที่ช่วงย่อยซึ่งนิ่งรอบเส้นทางกำหนดแน่นอนที่เปลี่ยนไปอาจเหมาะกว่า การวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงทางประวัติศาสตร์ครั้งใหญ่ของ Perron แสดงว่าข้อสรุปรากหน่วยอาจขึ้นกับการอนุญาตให้มีจุดเปลี่ยนหรือไม่ ADF และ PP แบบมาตรฐานไม่ได้ค้นหาจุดเปลี่ยนทั้งหมดโดยอัตโนมัติ

วาดกราฟอนุกรม บันทึกการเปลี่ยนแปลงเชิงสถาบันที่ทราบ และพิจารณาว่าการทดสอบที่คำนึงถึงจุดเปลี่ยนหรือแบบจำลองแบ่งช่วงตอบคำถามจริงหรือไม่ การค้นหาจุดเปลี่ยนหลังจากเห็นตัวอย่างเดียวกันแล้วอาจกระทบข้ออนุมาน ใช้วิธีที่มีค่าวิกฤตเหมาะกับการค้นหานั้นหรือระบุว่าการวิเคราะห์เป็นการสำรวจ คู่มือ Bai–Perron อธิบายการประมาณจุดเปลี่ยนในสมการถดถอย ไม่ใช่การปรับ ADF หรือ PP ที่ไม่ได้เปลี่ยนแปลงโดยตรง

การแปลงก็สำคัญ ระดับราคา ราคาลอการิทึม สเปรดราคา และผลตอบแทนเป็นตัวแปรทางเศรษฐกิจคนละชนิด การหาผลต่างของระดับที่น่าจะมีรากหน่วยอาจได้อนุกรมที่เสถียรกว่า แต่การหาผลต่างของระดับที่นิ่งอาจทิ้งข้อมูลและสร้างข้อกำหนดที่มีสัญญาณรบกวนโดยไม่จำเป็น ในการศึกษาคู่สินทรัพย์ การวิเคราะห์การร่วมบูรณาการช่วยแยกแนวโน้มสุ่มที่ต่างกันออกจากสเปรดที่อาจนิ่ง ไม่มีการวินิจฉัยใดเพียงอย่างเดียวพิสูจน์ว่ากลยุทธ์ทำกำไรได้

สมมติว่าระดับสมมุติเป็นไปตาม

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

μ คือ drift คงที่ และนวัตกรรม εₜ อาจพึ่งพากันตามลำดับเวลา เมื่อลบ yₜ₋₁ จะได้ Δyₜ = μ + εₜ; สัมประสิทธิ์ γ ของระดับที่มีแล็กล่าช้าเป็นศูนย์ในสมการถดถอยผลต่างที่สอดคล้องกัน นี่คือรูปเชิงพีชคณิตของสมมติฐานศูนย์รากหน่วย พีชคณิตนี้ไม่ได้ให้ค่า p: กฎอ้างอิงยังไม่เป็นมาตรฐาน และขึ้นกับพจน์กำหนดแน่นอนกับการจัดการการพึ่งพา

เมื่อ fit ADF ผลต่างที่มีแล็กล่าช้าพยายามแทนการพึ่งพาระยะสั้นในสมการถดถอย ส่วน PP ใช้สมการฐานที่สั้นกว่าและปรับค่าสถิติด้วยค่าประมาณความแปรปรวนร่วมระยะยาว หากข้อมูลมีจุดเปลี่ยนของแนวโน้มกำหนดแน่นอน การใช้งานมาตรฐานทั้งสองแบบอาจกำหนดแบบจำลองผิด แม้ซอฟต์แวร์จะแสดงค่าสถิติที่ดูแม่นยำ

การเปรียบเทียบจึงมีสามชั้น: สมมติฐานศูนย์เชิงสาระ ข้อกำหนดของสมการถดถอยและพจน์กำหนดแน่นอน และการปรับการพึ่งพาที่เหลือ เมื่อคงสองชั้นแรกไว้ ADF และ PP เป็นการวินิจฉัยทางเลือกที่มีประโยชน์ แต่การเปลี่ยนทั้งสามชั้นไปเรื่อย ๆ จนวิธีหนึ่งปฏิเสธไม่ใช่การทดสอบความทนทาน ผลที่ต่างกันเป็นเหตุให้ตรวจสมมติฐานและการตั้งค่า ไม่ใช่การแข่งขันที่ผู้ชนะจะกำหนดแบบจำลองโดยอัตโนมัติ

ระบุตัวแปรและการแปลง ช่วงเวลาและความถี่ของตัวอย่าง พจน์กำหนดแน่นอน กฎเลือกแล็ก ADF และอันดับที่เลือก หรือค่าสถิติ PP เคอร์เนล และแบนด์วิดท์ ระบุสมมติฐานศูนย์และทางเลือก ค่าสถิติ ค่าวิกฤตหรือค่า p ที่สอดคล้อง และการตรวจออโตคอร์เรเลชันของเศษเหลือกับจุดเปลี่ยน หากผลไวต่อการตั้งค่าที่สมเหตุสมผล ให้ระบุไว้ อย่าแสดงเฉพาะข้อกำหนดที่สนับสนุนการตีความที่ต้องการ

ขั้นตอนที่ใช้ได้เริ่มจากกำหนดเป้าหมายและแบบจำลองเศรษฐกิจ เลือกพจน์กำหนดแน่นอน รัน ADF หรือ PP ที่ระบุข้อกำหนดเหมาะสม ตรวจการพึ่งพาและจุดเปลี่ยนที่เป็นไปได้ แล้วเปรียบเทียบกับหลักฐานเสริม คู่มือ variance-ratio พิจารณานัยอีกอย่างของพฤติกรรม random walk สมมติฐานศูนย์ไม่เหมือนกันและใช้แทนการทดสอบรากหน่วยไม่ได้

ADF และ PP ไม่ได้สั่งให้หาผลต่างเมื่อค่า p ผ่านเกณฑ์ที่กำหนด การหาผลต่างเป็นการตัดสินใจด้านแบบจำลองเกี่ยวกับอนุกรมและคำถามนั้น ๆ การพยากรณ์การเปลี่ยนแปลง การประมาณความสัมพันธ์ระยะยาว การทดสอบสเปรดซื้อขาย หรือการรักษาข้อมูลระดับอาจนำไปสู่ทางเลือกต่างกัน การทดสอบช่วยในการตัดสินใจ แต่การแปลงสุดท้ายควรคำนึงถึงกระบวนการสร้างข้อมูล เสถียรภาพ เป้าหมายการพยากรณ์ และโครงสร้างการร่วมบูรณาการที่อาจมี