การแจกแจงปกติเทียบกับ Student-t ในการเงิน
เปรียบเทียบการแจกแจงปกติและ Student-t ตามการลดลงของหาง องศาอิสระ สเกลและความแปรปรวน likelihood การพึ่งพากันหลายตัวแปร และข้อจำกัดเมื่อใช้เป็นโมเดลผลตอบแทนทางการเงิน
คำตอบโดยตรง
การแจกแจงปกติมีหางที่ลดลงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล โดยถูกกำหนดด้วยค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน การแจกแจง Student-t เพิ่มองศาอิสระ ν และมีหางที่ลดลงแบบพหุนาม จึงให้น้ำหนักความน่าจะเป็นกับค่าที่สุดขั้วมากกว่า อาจเหมาะกับผลตอบแทนทางการเงินกว่า แต่การแจกแจงสมมาตรแบบคงที่เพียงแบบเดียวไม่สามารถอธิบายทุกภาวะ ความเบ้ หรือการจับกลุ่มของความผันผวนได้
โมเดลทั้งสองเป็นตระกูล location-scale ที่สมมาตร
ตัวแปรปกติเขียนได้เป็น X=μ+σZ โดย Z เป็นปกติมาตรฐานและ σ เท่ากับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ตัวแปร Student-t แบบ location-scale เขียนได้เป็น X=μ+sT_ν โดย s เป็นพารามิเตอร์สเกล และ ν ควบคุมความหนาของหาง
ทั้งสองสมมาตรรอบ μ ดังนั้นไม่มีแบบใดสร้างความเบ้ของผลตอบแทนได้ เว้นแต่จะขยายหรือแปลงโมเดล
Student-t เกิดจากความไม่แน่นอนของความแปรปรวน
สถิติแบบคลาสสิก T=Z/√(V/ν) โดย Z∼N(0,1) และ V∼χ²_ν เป็นอิสระต่อกัน มีการแจกแจง Student-t มาตรฐาน
ตัวส่วนที่สุ่มทำให้ค่ามาตรฐานขนาดใหญ่มีโอกาสเกิดมากกว่าภายใต้กฎปกติที่มีความแปรปรวนคงที่
เมื่อ ν เข้าใกล้อนันต์ ความไม่แน่นอนของตัวส่วนจะหายไป และการแจกแจง Student-t จะเข้าใกล้การแจกแจงปกติ
องศาอิสระเป็นตัวกำหนดโมเมนต์
หางของ Student-t ลดลงตามกฎกำลังซึ่งควบคุมด้วย ν ขณะที่หางของการแจกแจงปกติลดลงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลตามระยะทางยกกำลังสอง
ค่าเฉลี่ยมีอยู่เมื่อ ν>1 ความแปรปรวนมีอยู่เมื่อ ν>2 และโมเมนต์อันดับที่สี่มีอยู่เมื่อ ν>4 ค่า ν ที่ต่ำกว่าจะทำให้โมเมนต์ประชากรที่เกี่ยวข้องไม่มีอยู่
สำหรับ ν>4 excess kurtosis เท่ากับ 6/(ν−4) ทำให้เห็นการเปลี่ยนผ่านไปสู่หางแบบปกติได้อย่างชัดเจน
สเกลไม่ใช่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเสมอไป
สำหรับการแจกแจง t แบบ location-scale ที่มี ν>2, Var(X)=s²ν/(ν−2) ดังนั้น s จึงเล็กกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
การเปรียบเทียบ σ ของการแจกแจงปกติกับสเกล s ของ t ราวกับว่าทั้งคู่เป็นความผันผวน อาจทำให้การเปรียบเทียบหางหรือ likelihood ผิดไป
แพ็กเกจซอฟต์แวร์ใช้ชื่อพารามิเตอร์ต่างกัน และบางครั้งใช้เวอร์ชันที่ทำให้ความแปรปรวนเป็นหนึ่ง ดังนั้นให้บันทึกนิยามความหนาแน่นที่แน่นอน
Likelihood สร้างสมดุลระหว่างส่วนกลางกับหาง
maximum likelihood แบบปกติทำให้ residual ยกกำลังสองมีอิทธิพลมาก และอาจทำให้ค่าผิดปกติสุดขั้วเพียงไม่กี่ค่าดันค่าประมาณความแปรปรวนให้สูงขึ้น
likelihood แบบ Student-t ลดน้ำหนัก residual มาตรฐานขนาดใหญ่ผ่าน ν ทำให้ได้การปรับที่ดูทนทานขึ้นโดยไม่ประกาศว่าค่าดังกล่าวเป็นไปไม่ได้
การประมาณ ν ใกล้ขอบเขตของโมเมนต์อาจทำให้ความแปรปรวน kurtosis และมาตรวัดความเสี่ยงไม่เสถียร แม้ตัวปรับเหมาะจะลู่เข้าแล้ว
โมเดลหลายตัวแปรเปลี่ยนเหตุการณ์สุดขั้วร่วม
กฎการแจกแจงปกติหลายตัวแปรมี Gaussian copula ซึ่งมี tail dependence เชิงอสมมาตรเป็นศูนย์เมื่อความสัมพันธ์ต่ำกว่าความสัมพันธ์สมบูรณ์
กฎการแจกแจง t หลายตัวแปรใช้สเกลสุ่มร่วมกัน และสร้าง tail dependence เชิงบวกแบบสมมาตรเมื่อ ν มีค่าจำกัด
ความสมมาตรนั้นอาจยังไม่เหมาะกับหุ้น หากการร่วงพร้อมกันต่างจากการขึ้นพร้อมกัน หรือการพึ่งพากันเปลี่ยนไปตามภาวะตลาด
การเลือกโมเดลต้องตรวจหางนอกตัวอย่าง
เปรียบเทียบกราฟความน่าจะเป็นและควอนไทล์ การเกินระดับ threshold, likelihood เชิงพยากรณ์ ความครอบคลุมของช่วง และ backtest ของ VaR หรือ ES
ปรับโมเดลใหม่ในหน้าต่างแบบเลื่อน และทดสอบทางเลือกอย่าง skewed-t, mixture, stochastic-volatility และ residual ที่ผ่านการกรอง เมื่อโครงสร้างยังคงอยู่
การปรับ Student-t ที่ดีกว่าหมายถึงเป็นค่าประมาณที่มีประโยชน์กว่าสำหรับงานที่เลือก ไม่ได้หมายความว่าผลตอบแทนเป็นไปตามกฎ t เดียวที่ไม่เปลี่ยนแปลงจริง ๆ
คำถามที่พบบ่อย
ทำไม Student-t จึงมีหางอ้วนกว่าการแจกแจงปกติ
ส่วนผสมของสเกลสุ่มทำให้หางลดลงแบบพหุนาม ขณะที่ความน่าจะเป็นของการแจกแจงปกติลดลงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลตามระยะทางยกกำลังสอง
องศาอิสระหมายถึงอะไร
พารามิเตอร์ ν ควบคุมความหนาของหางและการมีอยู่ของโมเมนต์ ค่าบวกที่เล็กกว่าจะสร้างหางที่หนักกว่า
สเกลของ Student-t เท่ากับความผันผวนหรือไม่
โดยทั่วไปไม่เท่ากัน สำหรับ ν>2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของมันคือ s√[ν/(ν−2)] ภายใต้นิยาม location-scale ทั่วไป
Student-t ดีกว่าสำหรับผลตอบแทนทางการเงินเสมอหรือไม่
ไม่ มันจับหางหนักแบบสมมาตรได้ แต่อาจพลาดความเบ้ พลวัตความผันผวน การกระโดด และการพึ่งพากันที่ขึ้นกับภาวะตลาด