การทดสอบอัตราส่วนความแปรปรวน: Random Walk ระยะเวลา และการเทรด

ให้ \(P_t\) เป็นราคาที่สังเกตได้ และ \(x_t=\ln(P_t)\) เป็นลอการิทึมของราคา ผลตอบแทนลอการิทึมหนึ่งช่วงคือ \(r_t=x_t-x_{t-1}\) ส่วนผลตอบแทนลอการิทึม \(q\) ช่วงคือผลรวมของผลตอบแทนหนึ่งช่วงที่ต่อเนื่องกัน \(q\) ค่า หากส่วนเพิ่มไม่สัมพันธ์กันและมีความแปรปรวนคงที่ ความแปรปรวนของผลรวมจะเพิ่มตามสัดส่วน \(q\)

อัตราส่วนความแปรปรวนของประชากรคือ

\[ \operatorname{VR}(q)=\frac{\operatorname{Var}(r_t+r_{t-1}+\cdots+r_{t-q+1})}{q\operatorname{Var}(r_t)}. \]

ภายใต้เงื่อนไขการปรับสเกลนี้ \(\operatorname{VR}(q)=1\) วิธีของ Lo–MacKinlay นำความสัมพันธ์นี้มาสร้างสถิติตัวอย่างและทดสอบข้อจำกัดของ random walk ค่า 1 เป็นค่าอ้างอิงที่เกิดจากส่วนเพิ่มที่ไม่สัมพันธ์กัน ไม่ได้หมายความว่าราคาเคลื่อนไหวเรียบหรือพยากรณ์ได้ การประยุกต์ใช้ครั้งแรกของผู้เขียนปฏิเสธข้อกำหนด random walk ในข้อมูลหุ้นสหรัฐฯ ในอดีต พร้อมระบุชัดว่าการปฏิเสธเพียงอย่างเดียวไม่ได้พิสูจน์แบบจำลองราคาที่กลับสู่ค่าเฉลี่ย

สำหรับผลตอบแทนหนึ่งช่วงที่มีสภาวะคงที่ และมีออโตคอรีเลชัน \(\rho_j\) ที่ lag \(j\) อัตราส่วนประชากรเดียวกันเขียนได้เป็น

\[ \operatorname{VR}(q)=1+2\sum_{j=1}^{q-1}\left(1-\frac{j}{q}\right)\rho_j. \]

ออโตคอรีเลชันแต่ละค่าจะได้รับน้ำหนักที่ลดลงเมื่อ lag ยาวขึ้น ดังนั้นอัตราส่วนนี้จึงสรุปสหสัมพันธ์ตามลำดับแบบถ่วงน้ำหนักจนถึงระยะ \(q-1\) ไม่ใช่ออโตคอรีเลชันของ lag ใด lag หนึ่งโดยตรง

สมมติกระบวนการผลตอบแทนสมมติมี \(q=4\), \(\rho_1=0.10\), \(\rho_2=0.04\) และ \(\rho_3=0\) จะได้ว่า

\[ \operatorname{VR}(4)=1+2\left(\frac{3}{4}\times0.10+\frac{2}{4}\times0.04\right)=1.17. \]

ค่าที่สูงกว่าหนึ่งสะท้อนการพึ่งพาเชิงบวกแบบถ่วงน้ำหนักในระยะเหล่านี้ หากออโตคอรีเลชันสองค่าแรกเป็น \(-0.10\) และ \(-0.04\) โดยค่าที่สามยังเป็นศูนย์ อัตราส่วนจะเท่ากับ \(0.83\) นี่เป็นการคำนวณประชากรสมมติ ค่าประมาณจากตัวอย่างจริงอาจต่างออกไปจากความผันผวนในการสุ่มตัวอย่าง ความผันผวนที่เปลี่ยนแปลง และการปรับแก้ตัวประมาณสำหรับตัวอย่างจำกัด

รูปแบบออโตคอรีเลชันต่างกันอาจให้อัตราส่วนเดียวกันที่ระยะหนึ่งได้ ผลบวกและผลลบอาจหักล้างกัน ดังนั้นอัตราส่วนที่เท่ากับหนึ่งพอดีไม่ได้แปลว่าออโตคอรีเลชันทุกค่าที่รวมอยู่เป็นศูนย์ การพิจารณาหลายระยะที่กำหนดไว้ล่วงหน้าอาจเผยรูปแบบอื่น แต่เมื่อนำผลมาทดสอบร่วมกันก็ต้องใช้การอนุมานร่วมด้วย

โดยทั่วไป การทดสอบใช้กับลอการิทึมของราคาที่สังเกตในช่วงห่างเท่ากัน หรือผลต่างอันดับหนึ่งของราคาเหล่านั้น หากข้อมูลเป็นราคาปิดรายวัน \(q=5\) หมายถึงผลตอบแทนห้าเซสชัน ไม่ใช่หนึ่งสัปดาห์ตามปฏิทินที่มีจำนวนวันซื้อขายต่างกัน เซสชันที่หายไป ช่องว่างข้ามคืน และเวลาบันทึกที่ไม่สม่ำเสมอเปลี่ยนความหมายของ “หนึ่งช่วง” ให้ระบุตลาดและปฏิทิน รวมถึงว่าราคาปรับเงินปันผลหรือเหตุการณ์บริษัทอื่นแล้วหรือไม่

การใช้ผลตอบแทนอย่างง่ายแทนผลตอบแทนลอการิทึมเป็นการเลือกแบบจำลอง ไม่ใช่แค่เปลี่ยนชื่อโดยไม่มีผลในทุกระยะ ผลตอบแทนลอการิทึมบวกกันได้ตรงตามเวลา ส่วนผลตอบแทนอย่างง่ายทบต้น สำหรับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย ค่าอาจใกล้กัน แต่คำจำกัดความที่เลือกควรตรงกับคำถามและใช้ให้สอดคล้องกันในตัวอย่าง การประมาณ และ backtest อย่าใช้สูตรกับระดับราคาเสมือนเป็นอนุกรมผลตอบแทน

การใช้งานส่วนใหญ่นำผลตอบแทน \(q\) ช่วงที่ทับซ้อนกันมาคำนวณ เพื่อให้ทุกค่าที่สังเกตได้มีส่วนในการประมาณ วิธีนี้เพิ่มจำนวนค่าผลตอบแทนรวม แต่หน้าต่างที่ติดกันใช้ผลตอบแทนหนึ่งช่วงร่วมกันหลายค่า จึงไม่เป็นอิสระต่อกัน ค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานของการทดสอบคำนึงถึงโครงสร้างนี้ภายใต้สมมติฐานของวิธี หากปฏิบัติต่อผลตอบแทนที่ทับซ้อนกันเสมือนเป็นอิสระ จะประเมินความไม่แน่นอนต่ำเกินไป

สมมติความแปรปรวนของผลตอบแทนหนึ่งเซสชันของสินทรัพย์สมมติเท่ากับ \(0.0001\) หรือมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1% หากส่วนเพิ่มไม่สัมพันธ์กัน ความแปรปรวนของผลตอบแทนสี่เซสชันคือ \(4\times0.0001=0.0004\) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2% และอัตราส่วนเท่ากับ \(0.0004/(4\times0.0001)=1\)

ทีนี้สมมติว่าค่าประมาณความแปรปรวนสี่เซสชันเท่ากับ \(0.000468\) ขณะที่ค่าประมาณหนึ่งเซสชันยังเท่ากับ \(0.0001\) อัตราส่วนตัวอย่างคือ \(0.000468/(4\times0.0001)=1.17\) การคำนวณนี้บอกว่าการกระจายเปรียบเทียบกันอย่างไรในระยะที่เลือก ไม่ได้หมายความว่าผลตอบแทนคาดหวังสูงขึ้น 17% โอกาสที่ผลตอบแทนวันพรุ่งนี้จะเป็นบวกเพิ่มขึ้น 17% หรือสถานะสี่เซสชันให้ผลตอบแทนคาดหวัง 17%

หากต้องการสรุปเชิงอนุมาน ให้เปรียบเทียบอัตราส่วนที่ประมาณได้กับการแจกแจงของการทดสอบและค่าประมาณความไม่แน่นอน อัตราส่วนใกล้ 1 อาจเกิดขึ้นแม้ลักษณะอื่นของกระบวนการราคาจะละเมิดแบบจำลอง random walk เต็มรูปแบบ ในทางกลับกัน ค่าตัวอย่างที่ห่างจาก 1 อาจไม่แตกต่างจาก 1 อย่างมีนัยสำคัญเมื่อกลุ่มตัวอย่างสั้นหรือมีสัญญาณรบกวน รายงานค่าประมาณ สถิติทดสอบ p-value และการตีความทางเศรษฐกิจแยกจากกัน

สถิติ Lo–MacKinlay แบบคลาสสิกภายใต้สมมติฐานความแปรปรวนคงที่ปรับมาตรฐาน \(\widehat{\operatorname{VR}}(q)-1\) ด้วยความแปรปรวนเชิงเส้นกำกับที่ได้จากการสมมติว่าส่วนเพิ่มมีความแปรปรวนคงที่ หากความผันผวนตามเงื่อนไขของผลตอบแทนเปลี่ยนไป ค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานนี้อาจคำนวณขนาดการทดสอบผิด Lo และ MacKinlay ยังพัฒนาตัวประมาณความแปรปรวนที่สอดคล้องภายใต้ความแปรปรวนไม่คงที่สำหรับสถิติอัตราส่วนความแปรปรวนด้วย

คำว่า “สอดคล้องภายใต้ความแปรปรวนไม่คงที่” มีขอบเขตเฉพาะ: ภายใต้สมมติฐานของการทดสอบ วิธีนี้ปรับการอนุมานให้รองรับรูปแบบการเปลี่ยนแปลงความแปรปรวนของผลตอบแทนที่กว้างขึ้น แต่ไม่ได้แก้ชุดราคาที่ผิด ความพึ่งพากันในทุกระยะที่เป็นไปได้ การเปลี่ยนแปลงเชิงโครงสร้าง ราคาเสนอซื้อขายที่เก่า หรือกลุ่มตัวอย่างที่สั้นเกินไป หากซอฟต์แวร์แสดงสัญลักษณ์อย่าง \(Z\) และ \(Z^*\) ให้ตรวจเอกสารเพื่อดูว่าสมมติฐานศูนย์และสูตรค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานใดถูกใช้

งานศึกษาตัวอย่างจำกัดปี 1989 พบว่าประสิทธิภาพขึ้นอยู่กับสมมติฐานศูนย์และสมมติฐานทางเลือกที่พิจารณา และรายงานว่าในการจำลองที่ศึกษา วิธีนี้น่าเชื่อถือกว่าการทดสอบคู่แข่งบางวิธีภายใต้สมมติฐานศูนย์ของ random walk ที่มีความแปรปรวนไม่คงที่ นี่ไม่ใช่หลักประกันสำหรับทุกตัวอย่างหรือการใช้งาน ในตัวอย่างขนาดเล็ก bootstrap หรือวิธีตัวอย่างจำกัดอื่นอาจช่วยได้ แต่การสุ่มซ้ำก็ควรรักษาความพึ่งพาและลักษณะความผันผวนที่เกี่ยวข้องกับคำถามไว้ด้วย

การทดสอบ \(q\) ค่าเดียวถามว่าข้อจำกัดการปรับสเกลความแปรปรวนเป็นจริงหรือไม่ที่ระยะหนึ่งซึ่งเลือกไว้ หากเลือก \(q\) หลังจากดูหลายระยะแล้ว p-value ที่รายงานไม่ได้คำนึงถึงการค้นหานั้น การลอง \(q=2,4,8,16\) แล้วเน้นเฉพาะค่าที่มีนัยสำคัญที่สุดเพิ่มโอกาสเกิดผลบวกลวง

วิธีทดสอบอัตราส่วนความแปรปรวนร่วมจะทดสอบชุดระยะที่กำหนดไว้ล่วงหน้าพร้อมกันและปรับการตัดสินใจสำหรับการเปรียบเทียบหลายค่า Chow และ Denning พัฒนาการทดสอบลักษณะนี้เพราะการทดสอบอัตราส่วนแต่ละค่าแยกกันโดยไม่ปรับอาจเพิ่มอัตราความผิดพลาดประเภทที่ 1 โดยรวมอย่างมาก ผลทดสอบร่วมกล่าวถึงชุดระยะที่ทดสอบเท่านั้น ไม่ได้อธิบายว่า lag กลไก หรือผู้ร่วมตลาดรายใดทำให้เกิดการเบี่ยงเบน

เลือกระยะให้สัมพันธ์กับความถี่การสุ่มตัวอย่างและคำถามวิจัย การเปรียบเทียบหนึ่งวัน หนึ่งสัปดาห์ และหนึ่งเดือนอาจมีประโยชน์ แต่แต่ละระยะมีชุดข้อมูลที่ใช้และโครงสร้างผลตอบแทนที่ทับซ้อนต่างกัน รายงานชุดทดสอบทั้งหมด ไม่ใช่เฉพาะระยะที่ให้ผลถูกใจ และแยกการสำรวจข้อมูลออกจากการทดสอบเพื่อยืนยันสมมติฐาน

ค่าประมาณที่สูงกว่าหนึ่งสอดคล้องกับการพึ่งพาตามลำดับแบบถ่วงน้ำหนักเชิงบวกใน lag ที่เลือก ส่วนค่าต่ำกว่าหนึ่งสอดคล้องกับการพึ่งพาเชิงลบ ทั้งสองกรณีไม่ได้ระบุโดยเฉพาะว่าเป็น momentum, mean reversion, การปรับราคาล่าช้า ผลจากสินค้าคงคลัง bid–ask bounce การซื้อขายไม่พร้อมกัน หรือกระบวนการความผันผวน

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง \(\operatorname{VR}(q)<1\) ไม่ได้พิสูจน์ว่าระดับราคามีสภาวะคงที่ อนุกรมอาจมีอัตราส่วนต่ำกว่าหนึ่งในระยะหนึ่งแต่ยังมีแนวโน้มสุ่มอยู่ ในทางกลับกัน การปฏิเสธข้อจำกัด random walk ก็ไม่ได้พิสูจน์ทางเลือกที่มีสภาวะคงที่และกลับสู่ค่าเฉลี่ย Lo และ MacKinlay ระบุชัดว่าการปฏิเสธจากข้อมูลหุ้นที่ศึกษาไม่ได้สนับสนุนข้อสรุปนั้น

การอนุมานยังขึ้นกับว่ากำลังทดสอบผลตอบแทน ลอการิทึมราคา ผลตอบแทนส่วนเกิน หรืออนุกรมที่แปลงแบบอื่น ผลของผลตอบแทนราคาปิดรายวันใช้แทนราคาเสนอซื้อขายระหว่างวันหรือกลุ่มสินทรัพย์อื่นโดยอัตโนมัติไม่ได้ ระบุสิ่งที่ทดสอบและขอบเขตการตีความให้ชัด

Bid–ask bounce อาจทำให้ผลตอบแทนจากราคาซื้อขายมีการพึ่งพาเชิงลบในระยะสั้น แม้กระบวนการมูลค่าทางเศรษฐกิจที่เคลื่อนไหวช้ากว่าจะไม่ได้กลับทิศ หลักทรัพย์ที่สภาพคล่องต่ำอาจปรับราคาไม่พร้อมกัน และราคาปิดจากตลาดต่างแห่งอาจสะท้อนช่วงเวลารับข้อมูลที่ต่างกัน ปัจจัยเหล่านี้อาจกระทบระยะสั้นที่สุดมากที่สุด ตรวจคุณภาพราคาเสนอกับปริมาณซื้อขาย การจัดแนวเวลา และความไวเมื่อใช้ช่วงสุ่มตัวอย่างที่ยาวขึ้นก่อนเรียกรูปแบบนี้ว่าความผิดปกติของตลาด

การจับกลุ่มของความผันผวนมีผลต่อค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐาน แม้เครื่องหมายผลตอบแทนหรือระดับราคาจะไม่มีรูปแบบทิศทางที่เสถียร การเปลี่ยนแปลงเชิงโครงสร้างของค่าเฉลี่ย ความผันผวน ชั่วโมงซื้อขาย หรือองค์ประกอบตลาดทำให้อัตราส่วนจากตัวอย่างทั้งหมดผสมหลายภาวะเข้าด้วยกัน ตรวจความเสถียรของช่วงย่อยโดยไม่เลือกเฉพาะช่วงที่สนับสนุนการตีความที่ต้องการ

การค้นหาข้ามสินทรัพย์ ความถี่ ระยะ ตัวกรอง และวันเริ่มหรือสิ้นสุดตัวอย่างทำให้เกิดปัญหาเพิ่ม คือการเลือกผลที่เข้ากับสัญญาณรบกวน อัตราส่วนที่ดูผิดปกติทางสถิติหลังค้นหากว้างขวางไม่ใช่การทดสอบสมมติฐานที่ไม่ได้รับผลจากการคัดเลือก กำหนดระยะหลักไว้ล่วงหน้า หรือใช้วิธีทดสอบร่วม/สุ่มซ้ำที่เหมาะสม แล้วตรวจสอบรูปแบบที่พบกับข้อมูลตามลำดับเวลาที่ใหม่กว่า

การทดสอบอัตราส่วนความแปรปรวนสรุปความแปรปรวนของผลตอบแทนตามระยะเวลา แต่ไม่ได้กำหนดทิศทาง จุดเข้า จุดออก จุดหยุด ขนาดสถานะ ระยะเวลาถือ หรือว่าสัญญาณมีให้ก่อนส่งคำสั่งหรือไม่ แม้รูปแบบการพึ่งพาจะเสถียร ก็อาจมีขนาดเล็กเกินกว่าจะชดเชยค่าธรรมเนียม spread ผลกระทบตลาด เงินทุน ต้นทุนยืม และ turnover

ในการศึกษาการเทรด ให้กำหนดสัญญาณและเวลาตัดสินใจก่อนดูผลตอบแทนในอนาคต ประมาณพารามิเตอร์ในช่วงสร้างแบบจำลอง ตรึงค่า แล้วประเมินกับข้อมูลภายหลัง หากค้นพบผลหลังลองหลักทรัพย์หรือระยะจำนวนมาก ให้กันช่วงทดสอบที่ไม่เคยใช้จริง หรือใช้วิธีที่คำนึงถึงการค้นหา เปรียบเทียบผลหลังหักต้นทุนกับเกณฑ์อ้างอิง และจำลองการซื้อขายที่สมจริง ไม่ใช่เพียงคาดการณ์ผลตอบแทนทางทฤษฎี

ใช้ ratio นี้เป็นเครื่องมือวินิจฉัยอย่างหนึ่งร่วมกับกราฟ การตรวจออโตคอรีเลชัน การทดสอบ unit root และการวิเคราะห์เสถียรภาพ การเบี่ยงเบนจากการปรับสเกลความแปรปรวนอาจเป็นเหตุให้ศึกษารูปแบบจำลองที่เฉพาะเจาะจงขึ้น แต่แบบจำลองนั้นต้องมีสมมติฐานและหลักฐานนอกตัวอย่างของตนเอง การทดสอบนี้สรุปข้อจำกัดของโมเมนต์อย่างกระชับ ไม่ใช่หลักฐานว่ามีความได้เปรียบ

ระบุคำจำกัดความราคา การแปลงผลตอบแทน ความถี่ข้อมูล วันที่ตัวอย่าง จำนวนค่าที่ใช้ได้ และผลตอบแทนทับซ้อนกันหรือไม่ รายงานทุกระยะ \(q\) ที่ทดสอบ อัตราส่วนความแปรปรวนตัวอย่าง ชนิดค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐาน สถิติทดสอบ p-value ระดับนัยสำคัญ และการปรับร่วมสำหรับหลายระยะ

อธิบายวิธีจัดการข้อมูลที่ขาด การดำเนินการของบริษัท วันปิดตลาด และเวลาบันทึก แจ้งว่าการอนุมานที่ทนต่อความผันผวน bootstrap ช่วงย่อย หรือช่วงสุ่มตัวอย่างทางเลือกเปลี่ยนผลหรือไม่ สำหรับการประยุกต์ด้านการเทรด ให้แยกตัวอย่างทางสถิติออกจากช่วงประเมิน และเปิดเผยต้นทุน เวลาดำเนินการ กฎการเลือก ตลอดจนสินทรัพย์และระยะทั้งหมดที่ลอง

Lo และ MacKinlay เสนอ การทดสอบข้อกำหนดอัตราส่วนความแปรปรวน และศึกษาขนาดกับกำลังการทดสอบใน ตัวอย่างจำกัด Chow และ Denning อธิบายว่าทำไมการทดสอบ อัตราส่วนความแปรปรวนหลายค่าต้องควบคุมขนาดการทดสอบร่วมกัน90051-6) ดูหัวข้อที่เกี่ยวข้องได้จากบทความเรื่อง สภาวะคงที่และ unit root, cointegration ของ Engle–Granger และ การทดสอบอันดับ cointegration ของ Johansen