ควรคูณ Sharpe รายเดือนด้วย √12 หรือไม่? ผลของสหสัมพันธ์อนุกรม

Sharpe ของหนึ่งช่วงเวลาคือค่าเฉลี่ยของผลตอบแทนส่วนเกินจากอัตราปลอดความเสี่ยงในช่วงนั้น หารด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนช่วงเดียวกัน: SR₁ = μ/σ หากใช้ข้อมูลรายเดือน อัตราปลอดความเสี่ยงก็ควรสอดคล้องกับช่วงรายเดือนด้วย อย่านำอัตรารายปีมาหักจากผลตอบแทนรายเดือนโดยตรง

อัตราส่วนนี้สรุปตัวอย่างผลตอบแทนที่สังเกตได้ตามนิยามที่เลือก ไม่ใช่ความน่าจะเป็นที่จะได้กำไร ไม่ใช่มาตรวัดความเสี่ยงทั้งหมด และไม่ใช่การรับประกันผลในอนาคต การเปลี่ยนจากผลตอบแทนก่อนต้นทุนเป็นหลังต้นทุน หรือเปลี่ยนวิธีนับเงินปันผลและต้นทุนเงินทุน ก็ทำให้ค่าที่ได้เปลี่ยนได้

กฎทั่วไปสำหรับแปลง Sharpe หนึ่งช่วงเวลาเป็น q ช่วงคือ SR_q = √q × SR₁ สมมติฐานรวมถึงค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่คงที่ และไม่มีอัตสหสัมพันธ์ของผลตอบแทนที่ lag ซึ่งนำมาคำนวณ ผลตอบแทนที่เป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน (IID) เป็นเงื่อนไขเพียงพอที่ใช้กันทั่วไป แต่เป็นสมมติฐานที่เข้มกว่าการมีสหสัมพันธ์เป็นศูนย์อย่างเดียว

คำอธิบายเรื่อง อัตราส่วน Sharpe ของ William Sharpe ระบุเงื่อนไขสหสัมพันธ์เป็นศูนย์ซึ่งอยู่เบื้องหลังกฎรากที่สอง หากผลตอบแทนรายเดือนมีสหสัมพันธ์อนุกรม ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลรวมมักไม่เท่ากับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรายเดือนคูณ √q ดังนั้นจึงใช้การคูณแบบตรงไปตรงมาโดยอัตโนมัติไม่ได้

กำหนดให้ผลตอบแทนส่วนเกินรายช่วงเป็น xₜ ความแปรปรวนเป็น γ₀ และโควาเรียนซ์ที่ lag k เป็น γₖ = Cov(xₜ, xₜ₋ₖ). สหสัมพันธ์ที่ lag นั้นนิยามเป็น ρₖ = γₖ/γ₀ ภายใต้สมมติฐานโควาเรียนซ์คงที่และการบวกผลตอบแทนส่วนเกิน q ช่วงแบบเลขคณิต:

Var(Σₜ₌₁ᵠ xₜ) = qγ₀ + 2Σₖ₌₁ᵠ⁻¹(q−k)γₖ

จากความสัมพันธ์นี้ได้การปรับแก้การรวมช่วงเวลาของ Andrew Lo: SR_q = √q × SR₁ / √(1 + 2Σₖ₌₁ᵠ⁻¹(1−k/q)ρₖ) น้ำหนักของ lag ที่ไกลกว่าจะลดลง เพราะใน q ช่วงมีคู่ข้อมูลที่ห่างกันมากเช่นนั้นน้อยลง

หากสหสัมพันธ์ที่ lag ซึ่งเกี่ยวข้องเป็นบวก ตัวหารของค่าปรับมักมากกว่าหนึ่ง กฎ √q เพียงอย่างเดียวจึงมักให้ Sharpe สูงกว่าค่าที่ปรับแล้ว ส่วนสหสัมพันธ์ลบอาจทำให้กฎง่าย ๆ ประเมินต่ำไป นี่เป็นทิศทางทางคณิตศาสตร์ภายใต้สมมติฐาน ไม่ใช่ข้อสรุปว่ากลยุทธ์ดีหรือไม่

เพื่ออธิบายเท่านั้น สมมติว่าค่าเฉลี่ยผลตอบแทนส่วนเกินรายเดือนเท่ากับ 0.4% และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรายเดือนเท่ากับ 2% ดังนั้น SR₁ = 0.4% ÷ 2% = 0.20 หากไม่สนใจสหสัมพันธ์ ค่ารายปีแบบง่ายคือ 0.20 × √12 ≈ 0.6928

ต่อไปสมมติโมเดล AR(1) แบบสมมติ โดยมี ρ₁ = 0.25 และสหสัมพันธ์ lag ถัดไป ρₖ = 0.25ᵏ ในตัวอย่างนี้ ตัวคูณปรับแก้คือ √(1 + 2Σₖ₌₁¹¹(1−k/12)×0.25ᵏ) ≈ 1.262 ดังนั้น Sharpe รายปีหลังปรับคือ 0.6928 ÷ 1.262 ≈ 0.549 ค่า 0.25ᵏ สำหรับ lag ถัดไปมาจากสมมติฐาน AR(1) ในตัวอย่างนี้เท่านั้น ไม่ได้หมายความว่าทุก lag มีสหสัมพันธ์ 0.25

นี่เป็นการคำนวณสมมติ ไม่ใช่การคาดการณ์หรือคำแนะนำการเทรด และขึ้นอยู่กับการบวกผลตอบแทนส่วนเกินรายเดือนแบบเลขคณิตและสมมติฐานของโมเดลที่ระบุ

ผลตอบแทนที่ต่อเนื่องหรือกลับทิศอาจสะท้อนพฤติกรรมทางเศรษฐกิจจริง แต่ผลตอบแทนรายวันของกลยุทธ์ที่ถือสถานะหลายวันอาจใช้ความเสี่ยงจากสถานะเดียวกันร่วมกัน เมื่อช่วงถือครองทับซ้อนกัน ผลตอบแทนที่ซ้อนทับกันจึงไม่ใช่ข้อมูลอิสระต่อกัน

ราคาเก่า การประเมินมูลค่าสินทรัพย์ที่สภาพคล่องต่ำ หรือวิธีตีราคาที่ทำให้การเปลี่ยนแปลงดูราบรื่น ก็ทำให้ชุดข้อมูลดูเรียบได้ กฎสัญญาณ การปรับสมดุลพอร์ต และวิธีสร้างผลตอบแทนก็สร้างการพึ่งพาตามเวลาได้เช่นกัน ก่อนปรับแก้ควรแยกให้ออกว่าสหสัมพันธ์นั้นเป็นคุณสมบัติทางเศรษฐกิจ ผลจากการวัด หรือผลจากนิยามผลตอบแทน

ใช้นิยามผลตอบแทน ความถี่ของข้อมูล และอัตราปลอดความเสี่ยงที่สอดคล้องกัน ระบุว่าผลลัพธ์เป็นก่อนหรือหลังต้นทุน จัดการเลเวอเรจ ต้นทุนเงินทุน เงินปันผล และ funding ของสัญญา perpetual คริปโตด้วยวิธีเดียวกัน อย่ารวมต้นทุนในชุดหนึ่งแต่ละไว้ในอีกชุดหนึ่ง

สูตรโควาเรียนซ์ข้างต้นใช้กับการบวกผลตอบแทนส่วนเกินรายช่วง q ช่วงแบบเลขคณิต ภายใต้สมมติฐานของสูตร หากคำนวณผลตอบแทนรายปีแบบทบต้นจากมูลค่าพอร์ต อย่านำตัวเลขนั้นมาปนกับผลรวมแบบเลขคณิตโดยไม่อธิบาย บันทึกวิธีรวมผลตอบแทน การนำกลับไปลงทุน น้ำหนัก และกระแสเงินสดภายนอกเพื่อให้ผู้อื่นทำซ้ำการเปรียบเทียบได้

อัตสหสัมพันธ์เป็นค่าประมาณจากตัวอย่างข้อมูล ค่าประมาณที่ lag ยาวอาจมีสัญญาณรบกวน โดยเฉพาะเมื่อมีข้อมูลรายเดือนน้อย อย่าสรุปว่าเป็น AR(1) เพียงเพราะพบสหสัมพันธ์ที่ lag แรก ควรดูหลาย lag กราฟผลตอบแทน และวิธีสร้างข้อมูลด้วย

รายงานความยาวตัวอย่าง วิธีประมาณ lag ที่ใช้ และความไวของ Sharpe ที่ปรับแล้วต่อทางเลือกที่สมเหตุสมผล เมื่อเปรียบเทียบกลยุทธ์ ให้แสดงความไม่แน่นอนหรือช่วงความเชื่อมั่นหากทำได้ อย่าถือว่าความต่างทศนิยมเล็กน้อยเป็นข้อสรุปแน่นอน

การปรับการรวมช่วงเวลาไม่ได้กำจัดการลองหลายกลยุทธ์แล้วเลือกตัวที่ดีที่สุดหรือการขุดข้อมูล และไม่ได้จัดการกับการเปลี่ยนระบอบตลาด ความเสี่ยงหางหนา เลเวอเรจ สภาพคล่อง หรือต้นทุนการส่งคำสั่ง Sharpe ที่ปรับแล้วก็ยังซ่อนการขาดทุนก้อนใหญ่ที่เกิดไม่บ่อยได้

Sharpe หลังปรับที่สูงกว่าไม่ได้แปลว่าผลลัพธ์ในอนาคตจะดีกว่า หรือกลยุทธ์ปลอดภัยกว่า แยกการวัดผลตอบแทนเทียบกับความผันผวนออกจากการทดสอบความทนทาน ความเป็นไปได้ในการส่งคำสั่ง และความเสี่ยงต่อเงินทุน

บันทึกความถี่ของข้อมูล นิยามผลตอบแทนส่วนเกิน อัตราปลอดความเสี่ยงที่สอดคล้อง ช่วงเวลา และขนาดตัวอย่าง แสดงสหสัมพันธ์ที่ lag ซึ่งเกี่ยวข้องและสมมติฐานของการแปลง ระบุว่าใช้กฎ √q แบบง่ายหรือการปรับแก้ของ Lo

ระบุว่าผลตอบแทนหักค่าธรรมเนียมและเงินทุนแล้วหรือไม่ รวมถึงวิธีจัดการเลเวอเรจ เงินปันผล การทบต้น และกระแสเงินสดภายนอก เพิ่มการวิเคราะห์ความไวหรือความไม่แน่นอน และอย่าเรียกค่าประมาณย้อนหลังว่าการคาดการณ์ อ่านเพิ่มเติม: ผลตอบแทนเฉลี่ยเลขคณิตเทียบกับเรขาคณิต, การขาดทุนสูงสุดและเปอร์เซ็นต์การฟื้นตัว และ การแลกเปลี่ยนระหว่างอคติกับความแปรปรวนและการปรับโมเดลการเงินให้เข้ากับข้อมูลเกินไป

งานของ Andrew Lo เรื่อง The Statistics of Sharpe Ratios วิเคราะห์ว่าการพึ่งพากันตามลำดับเวลาส่งผลต่อสถิติ Sharpe และการแปลงเป็นรายปีอย่างไร