ผลตอบแทนแบบเลขคณิตเทียบกับเรขาคณิต: เหตุใดค่าเฉลี่ย 10% จึงไม่ใช่การเติบโต 10%

ใช้ช่วงเวลาต่อเนื่องที่ยาวเท่ากันสำหรับการลงทุนหรือพอร์ตเดียวกัน ใช้สกุลเงินเดียว มีมูลค่าเริ่มต้นเป็นบวก และไม่มีกระแสเงินสดภายนอก ระบุว่ารายได้ถูกนำกลับไปลงทุนหรือไม่ และผลตอบแทนรวมต้นทุนหรือไม่

เขียนผลตอบแทนแต่ละช่วงเป็นทศนิยม r: 40% กลายเป็น 0.40 และขาดทุน 20% กลายเป็น −0.20 ตัวคูณการเติบโตคือ 1 + r ไม่ใช่ r เอง

Arithmetic average = (r1 + r2 + ... + rn) ÷ n นี่อธิบายผลตอบแทนเฉลี่ยต่อช่วงที่สังเกตได้ แต่ไม่ได้สร้างยอดคงเหลือปลายทางของบัญชีที่ลงทุนต่อเนื่อง

สำหรับช่วงต่อเนื่อง ให้คูณตัวคูณการเติบโต: cumulative return = (1 + r1) × (1 + r2) × ... × (1 + rn) − 1

รักษา price return และ total return ให้สอดคล้องตลอด การสลับระหว่างสองแบบกลางชุดข้อมูลสร้างโจทย์คนละแบบ ไม่ใช่เพียงการเลือกค่าเฉลี่ย

พิจารณาสองปีเต็มและเงิน 10,000 หน่วยในสกุลเงินใดก็ได้ ผลตอบแทนสมมติคือ +40% ในปีแรกและ −20% ในปีที่สอง ไม่มีค่าธรรมเนียม การจ่ายเงิน ฝาก หรือถอน

หากทบต้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะได้ 10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100 เงินเพิ่ม 900 นี้ไม่เคยเกิดในบัญชีดังกล่าว แต่เป็นเส้นทางผลตอบแทนอีกแบบ

ตัวอย่างนี้เป็นเลขคณิตที่สร้างขึ้น ไม่ใช่ backtest ผลการลงทุนจริง หรือการคาดการณ์ สัญลักษณ์สกุลเงินไม่เปลี่ยนเปอร์เซ็นต์

• เริ่มต้น: 10,000
• หลังปีแรก: 10,000 × 1.40 = 14,000
• หลังปีที่สอง: 14,000 × 0.80 = 11,200
• ค่าเฉลี่ยเลขคณิต: (40% − 20%) ÷ 2 = 10% ต่อปี
• ผลตอบแทนสะสม: 11,200 ÷ 10,000 − 1 = 12% ในสองปี

ผลตอบแทนเรขาคณิตคืออัตราคงที่ต่อช่วง g ที่สร้างตัวคูณการเติบโตจริงขึ้นมาใหม่: (1 + g)^n = (1 + r1) × ... × (1 + rn)

ดังนั้น g = [(1 + r1) × ... × (1 + rn)]^(1/n) − 1 ให้หารากที่ n ของผลคูณตัวคูณการเติบโต ไม่ใช่ของเปอร์เซ็นต์ผลตอบแทน

สำหรับตัวอย่างสองปี g = (1.12)^(1/2) − 1 ≈ 5.8301% ต่อปี การใช้อัตราที่ไม่ปัดเศษให้ 10,000 × (1 + g)^2 = 11,200

เมื่อช่วงเวลาเป็นปี ผลตอบแทนเรขาคณิตนี้เท่ากับ compound annual growth rate หรือ CAGR หากไม่มีกระแสเงินสดภายนอก CAGR = (มูลค่าปลายทาง ÷ มูลค่าเริ่มต้น)^(1/t) − 1 โดย t คือจำนวนปีที่ผ่านไป

ตัวอย่างหนึ่งเติบโตจาก 10,000 เป็น 15,000 ในห้าปี กำไรรวมคือ 50% แต่ CAGR คือ (1.5)^(1/5) − 1 ≈ 8.45% ไม่ใช่ 50% ÷ 5 = 10%

[คำอธิบายผลตอบแทนรายปีของ FINRA](https://syndication.finra.org/content/how-are-your-investments-doing-returns-explained) ยังแยกการทำให้เป็นรายปีแบบทบต้นออกจากการหารกำไรรวมด้วยจำนวนปี

สองปีที่ได้ +10% และ +10% มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ +40% และ −20% แต่ 10,000 เติบโตเป็น 12,100 ในกรณีแรก และ 11,200 ในกรณีที่สอง

สำหรับตัวคูณการเติบโตที่เป็นบวก ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตไม่มากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต และจะเท่ากันเมื่อผลตอบแทนทุกช่วงเท่ากัน ใช้ข้อความนี้กับ observations เดียวกัน ไม่ใช่กองทุนที่ไม่เกี่ยวกัน

ส่วนต่างไม่ใช่ค่าคอมมิชชันพิเศษที่ต้องหักจากยอดคงเหลือ มูลค่าปลายทางหลังทบต้นสะท้อนผลตอบแทนแล้ว การเปรียบเทียบก็ไม่ได้พิสูจน์ว่าการลงทุนที่ผันผวนน้อยกว่าจะต้องชนะอีกแบบ

[การอภิปรายค่าเฉลี่ยสองแบบของ CFA Institute](https://rpc.cfainstitute.org/blogs/enterprising-investor/2015/the-myth-of-volatility-drag-part-1) อธิบายว่าเหตุใดการทบต้นจึงเป็นผลคูณ ไม่ใช่ผลบวก

การสลับลำดับผลตอบแทนคู่นี้ไม่เปลี่ยนผลคูณเมื่อไม่มีกระแสเงินสด แต่ยังเปลี่ยนเส้นทางและ drawdown ที่สังเกตได้

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจากข้อมูลรายเดือนเป็นอัตรารายเดือน หากสิบสองเดือนต่อเนื่องให้ผลตอบแทนเดือนละ 1% การเติบโตรายปีคือ (1.01)^12 − 1 ≈ 12.68% ไม่ใช่ 12%

ตัวอย่างนั้นระบุครบทั้งสิบสองเดือน การทำให้เดือน 1% ที่สังเกตได้เพียงเดือนเดียวเป็นรายปีจะเป็นการทำซ้ำแบบสมมติ ไม่ใช่ผลการดำเนินงานจริงของปีหรือการคาดการณ์

สำหรับช่วงสังเกตที่ยาวไม่เท่ากัน ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตต่อ observation ไม่ใช่อัตรารายปีโดยอัตโนมัติ ใช้จำนวนปีจริงเพื่อหา CAGR ระหว่างจุดปลายทาง และระบุหลักการนับวันสำหรับปีบางส่วน

ตัวเลข annualized ทำให้ปลายทางเรียบขึ้น ไม่ได้หมายความว่าบัญชีได้อัตรานั้นทุกปีหรือหลีกเลี่ยงการขาดทุนระหว่างทางมาก ๆ

สมมติลงทุน 100 ในสินทรัพย์ A และ 900 ในสินทรัพย์ B ในช่วงเดียวกัน A ได้ 50% ขณะที่ B เสีย 10% มูลค่าปลายทางคือ 150 และ 810 รวม 960

ผลตอบแทนพอร์ตคือ (960 − 1,000) ÷ 1,000 = −4% หรือใช้น้ำหนักต้นงวด 0.10 × 50% + 0.90 × (−10%) = −4%

ค่าเฉลี่ยที่ไม่ถ่วงน้ำหนักของ +50% และ −10% คือ +20% ซึ่งไม่สนใจ allocation การคูณ 1.50 ด้วย 0.90 ก็ผิดในกรณีนี้ เพราะการถือครองอยู่พร้อมกัน ไม่ใช่สองช่วงของเงินก้อนเดียว

เงินฝากและถอนภายนอกสร้างขอบเขตอีกแบบ ยอดจาก 10,000 เป็น 15,000 หลังฝาก 5,000 ไม่จำเป็นต้องเป็นกำไรจากการลงทุน 50%

[วิธีจัดการ cash flow ของ GIPS](https://www.gipsstandards.org/standards/gips-standards-for-firms/gips-standards-handbook-for-firms/) แยกผลการดำเนินงานแบบถ่วงน้ำหนักตามเวลาออกจากผลตอบแทนที่สะท้อนเวลาและขนาดของกระแสเงินสด

กำไรเปอร์เซ็นต์จาก premium ออปชันเล็กไม่เท่ากำไรเปอร์เซ็นต์ของทั้งบัญชี ขนาดธุรกรรมต่างกัน สถานะทับซ้อน และเงินสดว่างทำให้คูณผลตอบแทนระดับธุรกรรมแบบลวก ๆ ไม่ได้

[คู่มือ leverage ของ OIC](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/leverage-risk) อธิบายว่า premium ออปชันอาจแสดงกำไรขาดทุนเปอร์เซ็นต์ที่ขยายใหญ่ได้อย่างไร

สำหรับ futures margin ที่วางไว้เป็นหลักประกัน ไม่ใช่ราคาซื้อ exposure การเปลี่ยนตัวหารนั้นไม่ได้สร้างผลตอบแทนใหม่ของสินทรัพย์อ้างอิง

[คำอธิบาย margin ของ CME](https://www.cmegroup.com/education/courses/introduction-to-futures/margin-know-what-is-needed) ระบุว่าเงินเหล่านั้นแทนอะไร

ใช้ ตัวหารผลตอบแทน futures เพื่อเปรียบเทียบธุรกรรม และใช้มูลค่าทั้งบัญชีที่สอดคล้องกันสำหรับการทบต้นของพอร์ต รวมสถานะเปิดและนับต้นทุนแต่ละรายการเพียงครั้งเดียว

เริ่มจากคำถามที่ระบุไว้: ค่าเฉลี่ยของ observation การเติบโตของการลงทุนหนึ่งรายการ หรือผลตอบแทนพอร์ตที่มีการถือครองพร้อมกัน ทั้งหมดต้องใช้การคำนวณต่างกัน

สูตรตัวคูณบวกสมมติว่าผลตอบแทนแต่ละช่วงมากกว่า −100% หากขาดทุนทั้งหมด จะไม่มีเงินทุนเหลือให้ทบต้น ส่วน equity บัญชีติดลบต้องวิเคราะห์ cash flow และหนี้สิน ไม่ใช่เปรียบเทียบ CAGR แบบปกติ [!TRYMARK] ตรวจสอบผลตอบแทนเฉลี่ยด้วย TryMark ในการทบทวนผลการดำเนินงานครั้งถัดไป ให้ตั้งเป้าที่มูลค่าปลายทางที่รายงาน สร้างใหม่จากผลตอบแทนบัญชีที่มีวันที่ แล้วตรวจสอบอีกครั้งเมื่อเปลี่ยนต้นทุน สมมติฐานการนำกลับไปลงทุน หรือ cash flow ภายนอก [!WARNING] ค่าเฉลี่ยในอดีตไม่รับประกันการเติบโตที่ทำซ้ำได้ ทั้งค่าเฉลี่ยเลขคณิตและเรขาคณิตไม่กำหนดผลตอบแทนปีหน้า CAGR ที่ต้องการสูงขึ้นหรือเรียบไม่ได้เป็นเหตุผลให้เพิ่ม leverage ตัวอย่างเหล่านี้อธิบายการวัด ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน

• บันทึกวันที่ ความยาวช่วง สกุลเงิน และมูลค่าต้นงวดกับปลายงวด
• ระบุรายได้ การนำกลับไปลงทุน ค่าธรรมเนียม และเงินฝากหรือถอนภายนอก
• สร้างมูลค่าปลายทางใหม่จากตัวคูณการเติบโตต่อเนื่องก่อนทำ annualize
• แยกป้ายค่าเฉลี่ยเลขคณิต ผลตอบแทนสะสม ผลตอบแทนเรขาคณิตต่อช่วง และ CAGR