Модель Хестона и стохастическая волатильность

Блэк — Шоулз использует одну постоянную волатильность на весь срок контракта. Рыночные цены опционов вместо этого подразумевают разные волатильности по страйкам, экспирациям и времени

Модели стохастической волатильности рассматривают дисперсию как ещё одну случайную переменную состояния. Завтрашняя неопределённость зависит и от уровня актива, и от дисперсии, достигнутой по пути

Это добавляет реалистичную динамику, но также новый неторгуемый источник риска. Полная цена требует предположений о том, как оценивается риск дисперсии

Диффузия актива использует √vₜ как мгновенную волатильность. При выбранной мере ценообразования дисперсия следует уравнению dvₜ = κ(θ − vₜ)dt + ξ√vₜdWᵛₜ

Текущая дисперсия v₀ задаёт начальную точку. Тета — долгосрочный уровень дисперсии, каппа — скорость возврата к среднему, а кси — волатильность дисперсии

Член с квадратным корнем масштабирует шоки дисперсии текущим состоянием. Параметры заданы в единицах дисперсии, поэтому тету нельзя читать напрямую как процент волатильности

Когда дисперсия выше теты, дрейф тянет её вниз; ниже теты — вверх. Каппа определяет скорость этого притяжения

Быстрое возвращение к среднему делает текущий шок более важным для коротких сроков, чем для дальних. Медленное возвращение распределяет его влияние дальше по срочной структуре

Каппа и тета могут компенсировать друг друга при калибровке. Правдоподобная подгонка кривой не гарантирует, что любой параметр точно идентифицирован

Броуновские шоки спота и дисперсии имеют корреляцию rho. Отрицательная rho означает, что отрицательные шоки спота обычно совпадают с положительными шоками дисперсии

Этот канал, похожий на эффект плеча, помогает создать нисходящий перекос акций: падение спота и рост дисперсии усиливают стоимость опционов на падение

Rho — не историческая корреляция между доходностями и рядом котируемой IV. Это мгновенный параметр модели при выбранной мере и калибровке

Кси определяет случайность дисперсии. Более высокая кси расширяет распределение будущей дисперсии и может увеличивать кривизну по страйкам и срокам

Её эффект взаимодействует с rho, каппой, тетой и v₀. Один параметр не отображается однозначно в одном видимом свойстве поверхности IV

Условие Феллера 2κθ ≥ ξ² является достаточным условием строго положительной дисперсии в идеальном процессе, но реализация и дискретизация всё равно важны

Калибровка выбирает параметры, минимизирующие ошибки между модельными и рыночными ценами опционов или IV на выбранной сетке

Результаты зависят от весов целевой функции, обработки bid—ask, сроков, страйков, границ, оптимизатора, ставок, дивидендов и численного интегрирования

Несколько наборов параметров могут подгоняться одинаково. Показывайте ошибки цен и стабильность параметров и проверяйте откалиброванную модель на контрактах, не использованных в подгонке

Базовый Хестон имеет непрерывные траектории, один фактор дисперсии и фиксированные параметры. Реальные рынки могут прыгать, менять режимы, учитывать события и двигать перекос иначе

Дальние крылья и очень короткие сроки могут выявить отсутствующие скачки. Длинные сроки могут показать нестабильное среднее возвращение или необходимость нескольких факторов

Используйте Хестон как согласованный генератор сценариев, а не как доказательство истинного процесса. Стрессируйте скачки, параметры, движения поверхности, ликвидность и ошибку хеджа за пределами подогнанной модели