Дюрация Маколея, модифицированная и эффективная: различия и расчет

Дата погашения — предусмотренная договором дата возврата номинала. Дюрация при заданных предположениях описывает сроки денежных потоков или чувствительность цены. Это не другое название погашения и не гарантия того, когда инвестор вернет уплаченную сумму.

Если на экране указана только «duration», выясните, идет ли речь о дюрации Маколея, модифицированной, эффективной, денежной или иной мере. Зафиксируйте облигацию или портфель, дату оценки, доходность или кривую, порядок начисления процентов и базу цены. CFA Institute разделяет основанные на доходности меры с заданными потоками и изменением собственной доходности облигации и кривые меры, которые переоценивают ее по базовой кривой и могут учитывать неопределенные потоки. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026}

Дюрация Маколея — средний срок получения запланированных денежных потоков, взвешенный по их приведенной стоимости. Для потока CF_t в момент t, цены P и доходности y вес равен PV(CF_t)/P. Если P — сумма приведенных стоимостей всех учтенных потоков, сумма весов равна единице:

PV(CF_t) = CF_t / (1 + y/m)^(m×t)

D_Mac = Σ[t × PV(CF_t)] / P

У купонной облигации дюрация Маколея обычно короче срока до погашения, поскольку купоны поступают до возврата номинала. У бескупонной облигации только один запланированный поток, поэтому при указанных предположениях о потоках и дисконтировании дюрация Маколея равна сроку до погашения.

Это среднее время в терминах приведенной стоимости, а не прогноз личного срока владения и не гарантия доходности повторного вложения купонов. В некоторых стратегиях иммунизации этот показатель используют, но необходимы дополнительные предположения о движении доходностей, реинвестировании и обязательстве, которое нужно согласовать. FINRA также предупреждает, что дюрация — не просто время до погашения. {source:finraDurationExplainer}

Рассмотрим гипотетическую облигацию без встроенных опционов: номинал 1 000 долларов, годовой купон 5%, до погашения три года, доходность к погашению 4% годовых. Предположим ежегодные платежи, оценку сразу после даты купона и годовое начисление процентов. Запланированные потоки составляют 50 долларов через год, 50 через два года и 1 050 через три года.

При дисконтировании по ставке 4% приведенные стоимости составляют примерно 48,08, 46,23 и 933,45 доллара; полная цена — около 1 027,75 доллара. Если разделить каждую приведенную стоимость на цену, получатся веса примерно 4,68%, 4,50% и 90,82%. Последний поток включает номинал, но первые два купона сдвигают средний срок раньше.

Сумма времени, умноженного на вес, равна 1 × 4,68% + 2 × 4,50% + 3 × 90,82%, то есть примерно 2,8615 года. Значение меньше трехлетнего срока погашения, поскольку часть приведенной стоимости создают более ранние купоны. Отображаемые суммы округлены; для точного расчета используйте неокругленные приведенные стоимости. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026}

Модифицированная дюрация корректирует дюрацию Маколея с учетом принятого порядка начисления процентов. Для обычной облигации с фиксированными потоками, номинальной годовой доходностью y и m начислениями в год часто используется формула D_mod = D_Mac / (1 + y/m). В примере выплаты ежегодные, поэтому m=1; 2,8615 / 1,04 дает примерно 2,7514 года.

При небольшом изменении собственной доходности облигации приближение первого порядка для процентного изменения цены выглядит так: ΔP/P ≈ −D_mod × Δy, где Δy выражено десятичной дробью. Рост на 1 базисный пункт равен 0,0001, а не 0,01; 100 базисных пунктов равны 0,01. При модифицированной дюрации 2,7514 рост доходности на один процентный пункт дает локальную оценку снижения цены на 2,7514%, если остальные параметры неизменны. Минус отражает локальную обратную связь доходности и цены в этом примере.

Модифицированная дюрация — наклон около начальной доходности, а не полная переоценка при любом размере шока. Для оценки суммы в валюте также нужна рыночная стоимость позиции. Первое приближение абсолютной величины DV01 — рыночная стоимость × модифицированная дюрация × 0,0001 для изменения собственной доходности на 1 базисный пункт. Знаковая конвенция различается, и эта сумма не является фиксированным пределом убытка. CME отличает такую процентную чувствительность от денежной величины DV01, BPV или VBP. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}

Эффективная дюрация использует цены после полной оценки в сценариях процентных ставок. Пусть P₀ — начальная цена, P₋ — цена после снижения базовой кривой на Δr, а P₊ — цена после ее повышения на ту же величину. Центральная разность равна D_eff = (P₋ − P₊) / (2 × P₀ × Δr), где Δr указано десятичной дробью. Результат обычно интерпретируют в годах как процентную чувствительность цены к заданному сдвигу кривой.

Показатель полезен, если будущие денежные потоки могут меняться вслед за ставками: например, у отзывных облигаций, облигаций с правом продажи и ипотечных ценных бумаг. В каждой ситуации модель может обновить ожидаемое исполнение опциона или досрочное погашение и заново рассчитать цену. Поэтому результат зависит от базовой кривой, размера и формы шока, модели, волатильности, предположений о потоках и даты оценки. CFA Institute рассматривает эффективную дюрацию как меру кривого риска для неопределенных потоков; FINRA также отличает ее от дюраций Маколея и модифицированной для облигаций с условиями досрочного погашения. {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026} {source:finraDurationExplainer}

Эффективная дюрация не всегда «точнее». Она отвечает на другой вопрос: как меняется полная цена в модели при заданном сценарии базовой кривой? Если потоки стабильны и важна собственная доходность облигации, модифицированная дюрация может быть прямее. При кривом шоке укажите, параллельный ли он и какая кривая используется; для опциона укажите модель пересчета потоков.

Вернемся к облигации с номиналом 1 000 долларов. При доходности 4% ее цена около 1 027,75 доллара, а модифицированная дюрация около 2,7514. Рост доходности на 100 базисных пунктов дает локальную оценку падения на 2,7514%, или 28,28 доллара, до примерно 999,47 доллара. Снижение на 100 базисных пунктов дает локальную оценку роста на 28,28 доллара, до 1 056,03 доллара.

Теперь дисконтируем запланированные потоки напрямую по новой доходности. При 5% цена равна 1 000 долларов: снижение примерно на 27,75 доллара, или 2,70%. При 3% цена около 1 056,57 доллара: рост примерно на 28,82 доллара, или 2,80%. Изменения несимметричны, потому что зависимость цены от доходности искривлена. Одна дюрация дает локальную оценку; выпуклость помогает объяснить разницу второго порядка при более крупном сдвиге. Это гипотетический расчет с неизменными потоками, годовым начислением и одинаковой конвенцией оценки; не рыночная котировка и не прогноз. См. выпуклость облигации и чувствительность цены.

Дюрации Маколея и модифицированная в примере основаны на доходности. Базовая кривая и модель оценки по шокам не заданы, поэтому эффективная дюрация не рассчитывается. Для нее нужно переоценить облигацию в заданных сценариях кривой. Если потоки меняются, предположения об исполнении опционов и досрочном погашении должны быть согласованы для сценариев роста и снижения ставок.

Используйте Маколея, если вас интересует среднее время запланированных потоков по приведенной стоимости. Используйте модифицированную дюрацию для локальной оценки процентного изменения цены при небольшом сдвиге собственной доходности облигации с фиксированными потоками, указав порядок начисления. Используйте эффективную, если меняется базовая кривая и потоки могут зависеть от ставок. Ни один показатель не предсказывает направление ставок.

Агрегирование портфеля обычно зависит от рыночных весов и методики поставщика. Одна эффективная дюрация суммирует заданный широкий сдвиг кривой, но может скрыть ее изгибы и скручивания; дюрация ключевых ставок показывает чувствительность к выбранным срокам. Для денежной величины на базисный пункт см. DV01 и BPV. Кредитный спред, ликвидность, инфляция, валютный и опционный риски могут требовать отдельного анализа: дюрация базовой ставки не измеряет все риски облигации.

Свойства облигации также важны. При стандартных прочих равных для фиксированной облигации без опционов более поздние потоки обычно увеличивают дюрацию, а более высокий купон или доходность чаще увеличивают вес ранних платежей и сокращают ее. По мере приближения погашения профиль оставшихся потоков меняется, поэтому дюрация не постоянна. Право отзыва может ограничивать рост цены при снижении ставок. У облигации с плавающей ставкой купон периодически пересматривается, поэтому ее процентная чувствительность может быть ниже, чем у фиксированной облигации с близким сроком, но остаются кредитный спред, задержка пересмотра, нижний предел и ликвидность. Это механизмы при заданных предположениях, а не универсальный рейтинг. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:finraDurationExplainer}

Два источника могут называть «duration» разные показатели. Запишите инструмент или портфель, дату оценки, полную или чистую цену, доходность или базовую кривую, частоту начисления, размер шока, параллельный он или нет, модель опциона и фиксируются ли денежные потоки или пересчитываются. Для сравнения денежных сумм также согласуйте размер позиции и валюту. При различии входных данных объясните его до прямого сравнения.

Чувствительность цены не равна ожидаемой полной доходности. Дюрация не включает все источники фактического результата: купонный доход, реинвестирование, миграцию кредитного качества, спреды, торговые издержки, налоги или изменения портфеля. Это чувствительность при заданной начальной точке и модели. Проверьте методику и дату в паспорте фонда или аналитической системе, а договорные условия — в проспекте или документах бумаги. Низкая дюрация не означает низкий совокупный риск и не прогнозирует будущий убыток. {source:finraDurationExplainer} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}