Выпуклость облигаций: кривизна сверх дюрации

Рыночная цена облигации — это приведённая стоимость ожидаемых денежных потоков. При изменении доходности дисконтирования их стоимость пересчитывается. У обычной облигации с фиксированным купоном и без встроенных опционов цена, как правило, движется в направлении, противоположном доходности.

На широком диапазоне изменений связь цены и доходности не является прямой. Наклон при текущей доходности показывает непосредственную чувствительность цены, а кривизна — как этот наклон меняется при дальнейшем движении доходности. CFA Institute описывает дюрацию как линейное приближение, а выпуклость как дополнительную меру в [обзоре выпуклости облигаций на основе доходности]({source:cfaBondConvexity2026}).

Модифицированная дюрация оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: ΔP/P ≈ −D × Δy. Δy записывают десятичной дробью. Если дюрация равна 6, а доходность увеличилась на 0,01, оценка составляет −6 × 0,01, то есть около −6%. При небольшом изменении касательная к текущей цене даёт полезное упрощение.

Линейная оценка предполагает, что равные по величине рост и снижение доходности вызывают равные по величине изменения цены в противоположных направлениях. Кривая зависимость не вполне симметрична. Поэтому одна дюрация лучше подходит для локальной оценки и становится менее полной при более крупных изменениях. FINRA также описывает дюрацию как меру чувствительности, а не дату погашения, в [пояснении о дюрации облигаций]({source:finraDurationExplainer}).

Выпуклость отражает эффект второго порядка на цену. При распространённой конвенции модифицированной дюрации приближение выглядит так: ΔP/P ≈ −D × Δy + ½ × C × (Δy)². Первый член — линейная оценка дюрации, второй добавляет поправку на кривизну. Доходность указывают десятичной дробью: 100 базисных пунктов (б.п.) равны 0,01, а 25 б.п. — 0,0025.

У облигации с фиксированным купоном и без опционов выпуклость, рассчитанная на основе доходности, положительна. Поэтому член выпуклости добавляется к оценке изменения цены в обоих направлениях: увеличивает оценочный прирост при снижении доходности и уменьшает оценочное падение при её росте по сравнению с одной дюрацией. Это чувствительность в рамках заданной модели, а не гарантия более высокой доходности.

Предположим, у гипотетического портфеля облигаций модифицированная дюрация равна 6, а выпуклость — 45. Если соответствующая доходность вырастет на 100 б.п., то Δy = +0,01. Член дюрации составляет −6,00%, а член выпуклости — ½ × 45 × 0,01² = +0,225%. Итого получается около −5,775% до учёта дохода, изменения спредов, комиссий и других эффектов.

Если доходность снизится на 100 б.п., дюрация даёт +6,00%, а выпуклость снова +0,225%, итого около +6,225%. Для гипотетической позиции на 10 000 долларов это примерно −577,50 или +622,50 доллара. Это арифметическая иллюстрация, а не прогноз и не обещание результата.

Пример положительной выпуклости выше предполагает фиксированные денежные потоки без встроенных опционов. Отзывная облигация даёт эмитенту право погасить её досрочно. Снижение доходности может сделать отзыв более привлекательным и ограничить рост цены. Ипотечные ценные бумаги также могут быстрее погашаться досрочно, когда рефинансирование становится выгоднее, меняя ожидаемые потоки.

Вблизи области исполнения опциона у отзывной облигации может быть отрицательная выпуклость: потенциал роста при снижении доходности ограничен, а риск снижения при её росте сохраняется. CFA Institute разбирает эффективную дюрацию и эффективную выпуклость облигаций с опционами в [руководстве по встроенным опционам]({source:cfaEmbeddedOptions2026}). Не переносите пример безопционной облигации на такие бумаги механически.

Дюрация и выпуклость портфеля суммируют реакцию денежных потоков облигаций на изменение доходности. Распространённый подход рассчитывает средние значения показателей с весами по стоимости позиций. Это полезное обобщение, но оно часто предполагает параллельный сдвиг кривой, при котором доходности всех важных сроков меняются на одинаковую величину.

На практике краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные доходности могут двигаться по-разному; кривая может становиться круче, более плоской или менять форму. Поэтому портфели с потоками на разных сроках могут реагировать неодинаково даже при похожих совокупных показателях. Дюрация ключевых ставок и другие показатели по точкам кривой помогают описать такие риски. Выпуклость облигации — не то же самое, что кривизна самой кривой доходности.

Перед сравнением выпуклости облигационных фондов проверьте определение, единицы, дату данных и вид показателя: модифицированная, приближённая или эффективная выпуклость. Для бумаг со встроенными опционами эффективные показатели зависят от модели, которая переоценивает ожидаемые денежные потоки при изменении доходности. Различия в моделях, шоках кривой, датах портфелей и конвенциях могут сделать цифры несопоставимыми.

Отделяйте чувствительность к ставкам от кредитных спредов, дефолта, ликвидности и валютного риска. Изменение доходности в формуле не означает автоматически изменение ключевой ставки центрального банка или всех рыночных доходностей. См. также дюрацию и процентный риск облигационных ETF и отдельное руководство о поправке на выпуклость во фьючерсах и форвардах.

Дюрация и выпуклость помогают ответить на ограниченный вопрос: насколько оценка чувствительности цены отличается от линейного приближения дюрации при заданном шоке доходности и предположениях показателя? Они не прогнозируют будущую доходность, полный доход, срок восстановления после убытка или пригодность облигации для портфеля.

Запишите размер и единицы шока, конвенцию показателей и риски, оставленные неизменными. Считайте результат приближением и обновляйте входные данные при изменении цен, позиций, ожидаемых потоков или кривой доходности. Одно значение выпуклости описывает кривизну около опорной точки, а не весь риск.

Отделяйте расчетную чувствительность цены от фактически полученной совокупной доходности. Дюрация и выпуклость описывают, как цена на одну дату оценки может отреагировать на заданное изменение доходности. Фактический результат за период владения также может включать купонный доход, эффект продвижения вдоль кривой доходности, изменения кредитных спредов, транзакционные издержки и пересмотр ожидаемых денежных потоков. Сравнивая начальную оценку с последующей доходностью, сопоставьте периоды и факторы риска, а затем разберите причины расхождения. Такая проверка помогает оценить приближение, но не превращает его в обещание доходности.