d1 versus d2 de Black–Scholes explicados
Entenda as fórmulas de d1 e d2, por que N(d1) se relaciona ao delta da call, por que N(d2) se relaciona à probabilidade neutra ao risco de uma call terminar dentro do dinheiro e quais são seus limites
Resposta direta
d1 e d2 de Black–Scholes condensam preço à vista, strike, tempo, volatilidade, juros e dividendos em coordenadas padronizadas. Eles satisfazem d2=d1−σ√T. Para uma call europeia sem dividendos, N(d1) é o delta, enquanto N(d2) se conecta à probabilidade neutra ao risco do modelo de terminar dentro do dinheiro. Não são duas estimativas da mesma probabilidade. N(d2) pondera se o strike é pago, enquanto N(d1) pondera a exposição à ação sob uma numeraire diferente. Nenhum dos dois números é uma previsão física de alta, probabilidade de tocar um nível ou probabilidade de lucro depois do prêmio
d1 e d2 compartilham as mesmas entradas
d1 combina a relação logarítmica entre preço à vista e strike, o carry de juros e dividendos e metade do termo de variância, depois divide tudo por σ√T
d2 subtrai σ√T de d1. Quando volatilidade e tempo são positivos, d2 é sempre menor que d1
Tempo, volatilidade anualizada, juros e yield de dividendos precisam de convenções consistentes de contagem de dias e capitalização
A diferença entre eles é a volatilidade total
A quantidade σ√T mede a escala de desvio-padrão modelada até o vencimento; portanto, mais volatilidade ou tempo amplia a diferença entre d1 e d2
Mesmo quando o preço à vista é igual ao strike, o carry e o termo de metade da variância fazem com que d1 e d2 não precisem ficar simetricamente em torno de zero
Valores positivos grandes indicam uma coordenada de modelo profundamente dentro do dinheiro; valores negativos grandes indicam profundamente fora do dinheiro, não um julgamento completo da operação
N(d2) pondera o pagamento do strike
O preço de uma call europeia pode ser escrito como um termo ponderado pela ação menos um termo ponderado pelo strike descontado
N(d2) no termo do strike se conecta à probabilidade, no modelo neutro ao risco, de o preço à vista final exceder o strike e a call pagar no vencimento
Essa afirmação pressupõe o modelo lognormal contínuo e o carry especificados. Não é uma estimativa empírica de frequência no mundo real
N(d1) pondera a exposição à ação e o delta
Para uma call de Black–Scholes sem dividendos, delta é igual a N(d1); com yield de dividendos contínuo q, é e^(−qT)N(d1)
Delta é a mudança local no valor teórico da opção para uma pequena mudança no preço à vista, com as demais entradas do modelo fixas
N(d1) está ligado a um peso baseado na numeraire da ação, o que o torna diferente da probabilidade de vencimento baseada na numeraire de caixa representada por N(d2)
Puts exigem sinais e eventos diferentes
Para uma put europeia, o evento de terminar dentro do dinheiro é o preço à vista final ficar abaixo do strike, e isso se conecta a N(−d2) no modelo básico
O delta de uma put sem dividendos é N(d1)−1; com dividendos contínuos, assume a forma e^(−qT)(N(d1)−1)
Não memorize uma call e simplesmente inverta os sinais. Identifique separadamente o evento do payoff e a direção da sensibilidade do preço
Transformar delta em probabilidade mistura perguntas
Terminar dentro do dinheiro pergunta onde o preço à vista termina; a probabilidade de tocar pergunta se um nível é alcançado em algum momento do caminho
A probabilidade de lucro inclui o prêmio de entrada e o ponto de equilíbrio, enquanto uma previsão física pode incluir prêmios de risco e crenças subjetivas
Ler delta 0.30 como “30% de chance de lucro” confunde N(d1), N(d2), medidas de precificação e físicas e limiares de payoff
Uma superfície de volatilidade ao vivo muda as coordenadas
A IV de mercado varia por strike e vencimento, portanto a volatilidade e a convenção de superfície escolhidas mudam d1, d2 e seus valores de N
Exercício americano, dividendos discretos, custos de empréstimo e saltos enfraquecem a interpretação probabilística simples da fórmula europeia
Deltas da plataforma podem diferir porque modelos, cotações, dividendos e juros diferem. Um número exibido é inseparável dessas entradas
Informe a convenção e a pergunta
Registre preço à vista, strike, horário, tempo até o vencimento, IV, juros, dividendos, call ou put e estilo de exercício
Ao apresentar d1, d2 ou valores de N, identifique com precisão o delta e a probabilidade de modelo neutra ao risco de terminar dentro do dinheiro
Para uma decisão, acrescente payoff, ponto de equilíbrio, bid-ask, cenários de superfície e reprecificação completa, em vez de depender de uma única coordenada
Perguntas frequentes
Qual de d1 ou d2 é a probabilidade de terminar dentro do dinheiro?
No modelo europeu básico, a probabilidade neutra ao risco de uma call terminar dentro do dinheiro se conecta a N(d2), não a uma previsão física
Por que o delta da call é N(d1), e não N(d2)?
Delta diferencia o preço em relação ao preço à vista e pertence ao termo ponderado pela ação, não ao evento terminal ponderado pelo caixa
O que acontece com d1 e d2 quando a volatilidade sobe?
A diferença entre eles aumenta, mas cada nível também depende de moneyness, carry e do termo de metade da variância, portanto a direção não é universal
d2 pode calcular a probabilidade de lucro da operação?
Não. O lucro depende de passar pelo ponto de equilíbrio ajustado pelo prêmio, não apenas de terminar além do strike