Numeraire e mudança de medida explicados

Um preço em dólares usa a moeda como unidade visível, enquanto os modelos de precificação de ativos costumam usar uma conta do mercado monetário como numeraire dinâmico

Se Nₜ for o numeraire escolhido, o preço relativo do ativo X será Xₜ/Nₜ. Essa é a quantidade de numeraire necessária para comprar X

Mudar a unidade não cria valor. Isso reorganiza os mesmos payoffs econômicos e muda a esperança condicional mais conveniente

O numeraire precisa ser negociável e estritamente positivo durante o horizonte relevante para que a divisão seja definida e a densidade da medida permaneça válida

Um ativo que pode chegar a zero geralmente não pode servir como numeraire global sem localização ou um espaço de estados mais restrito

Financiamento, garantias, dividendos e reinvestimento precisam ser incorporados de forma consistente ao definir o valor de retorno total do numeraire

Começando pelo numeraire do mercado monetário B e pela medida neutra ao risco Qᴮ, outro numeraire N define uma nova medida Qᴺ por meio de uma densidade baseada em N/B

Sob Qᴺ, todo preço negociável admissível dividido por N é um martingal. Sob Qᴮ, preços divididos por B têm essa propriedade

Não existe uma afirmação independente de medida de que o preço bruto de um ativo seja um martingal. O numeraire e a medida caminham juntos

Um payoff H em T pode ser avaliado como Nₜ vezes a esperança condicional sob Qᴺ de H/N_T

Usar um numeraire diferente muda tanto as unidades do payoff quanto os pesos de probabilidade, de modo que o valor em moeda permanece igual quando as premissas são consistentes

Essa identidade é uma transformação de precificação, não uma previsão de que os eventos de uma medida sejam fisicamente mais prováveis que os de outra

Escolha um título zero-cupom com vencimento T, P(t,T), como numeraire. Sob a medida forward T, os preços forward elegíveis de entrega em T se tornam martingais

Isso pode remover o desconto estocástico de um payoff pago em T e simplificar caps, swaptions, opções sobre títulos e outros direitos de taxa de juros

O vencimento precisa coincidir com a data do payoff ou os fluxos de caixa precisam ser decompostos com cuidado. Uma medida forward não simplifica todas as datas ao mesmo tempo

Escolha um numeraire que se pareça com um fator positivo do payoff. Dividi-lo pode transformar um produto em um indicador mais simples ou em uma opção de troca

Em Monte Carlo, o payoff transformado pode ter menor variância ou evitar a simulação de um fator de desconto separado, embora a melhoria não seja automática

A conveniência numérica não corrige um modelo inconsistente. A medida transformada ainda precisa de drift, covariância e dinâmica de densidade corretos

Para ações, o numeraire negociável precisa incluir dividendos reinvestidos, e não apenas o preço cotado ex-dividendo

No câmbio, contas doméstica e estrangeira do mercado monetário geram naturalmente medidas neutras ao risco doméstica e estrangeira

Direitos quanto e de moedas cruzadas revelam os ajustes de drift criados pelas correlações entre câmbio, ativos, taxas e o numeraire escolhido

Precifique um benchmark sob dois numeraires e confirme a concordância dentro do erro analítico ou numérico depois de converter as unidades de volta

Verifique a normalização da densidade, os testes de martingal para ativos relativos, o alinhamento da data do payoff, as convenções de retorno total e os ajustes de drift simulados

Documente o numeraire, a medida associada, a derivada de Radon–Nikodym, a moeda de liquidação e todas as datas de fluxo de caixa para que o resultado seja reproduzível