Derivada de Radon–Nikodym em finanças explicada
Entenda como a derivada de Radon–Nikodym repondera probabilidades, converte expectativas, forma um processo de densidade e apoia a avaliação neutra ao risco
Resposta direta
Uma derivada de Radon–Nikodym dQ/dP é uma densidade não negativa que mostra como Q repondera resultados em relação a P. Ela converte expectativas sob Q em expectativas ponderadas sob P e conecta medidas físicas às de precificação sem alterar os eventos possíveis
A continuidade absoluta permite uma densidade
Q é absolutamente contínua em relação a P, escrita Q ≪ P, quando todo evento nulo de P também é nulo sob Q
O teorema de Radon–Nikodym então fornece uma densidade não negativa Z = dQ/dP, única salvo em conjuntos nulos de P
Se P e Q são equivalentes, cada uma é absolutamente contínua em relação à outra e elas concordam sobre quais eventos são impossíveis
A densidade distribui a probabilidade estado a estado
Para qualquer evento A, Q(A) = E_P[Z 1_A]. Para medidas de probabilidade, E_P[Z] = 1
Valores de Z maiores que um aumentam o peso relativo de um resultado sob Q; valores abaixo de um o reduzem
Z não é uma derivada em relação ao tempo ou ao preço. É uma densidade de uma medida em relação a outra
As expectativas mudam por multiplicação
Para um payoff integrável X, E_Q[X] = E_P[ZX], sujeito às condições de integrabilidade necessárias
Essa identidade muda os pesos, não o payoff nem o espaço amostral. O mesmo resultado X é calculado com médias diferentes
Quando as medidas são equivalentes e Z é positivo, dP/dQ = 1/Z vale Q-quase certamente; mudanças de densidade também obedecem a uma regra da cadeia
É o análogo contínuo de uma razão de verossimilhança
Em um modelo de estados finitos, Z_s = q_s/p_s quando p_s é positivo, então q_s = p_s Z_s
Essa é a mesma lógica da amostragem por importância: amostre sob uma distribuição e corrija a média com uma razão de verossimilhança
Densidades muito variáveis concentram peso em poucos estados e podem criar estimativas instáveis de Monte Carlo mesmo quando a identidade é exata
Um processo de densidade revela informação ao longo do tempo
Dada a densidade terminal Z_T, defina Z_t = E_P[Z_T | F_t]. O processo é uma P-martingale não negativa
As expectativas condicionais satisfazem E_Q[X | F_t] = E_P[Z_T X | F_t] / Z_t quando Z_t é positivo
A filtração importa porque Z_t registra a parte da reponderação terminal visível com a informação disponível no instante t
Medidas de precificação usam uma densidade equivalente
Modelos de precificação de ativos buscam uma medida equivalente Q sob a qual os preços negociados devidamente descontados sejam martingales ou martingales locais
O teorema de Girsanov descreve como a densidade altera o drift browniano preservando a incerteza de difusão e os eventos nulos
Com um numerário de mercado monetário, o fator estocástico de desconto pode ser escrito como desconto vezes dQ/dP sob premissas adequadas
Interpretação e estimação exigem cuidado
Q neutra ao risco é uma medida de precificação, não necessariamente uma previsão das frequências do mundo real sob P
Uma densidade proposta precisa ser não negativa, integrar um, respeitar a filtração e tornar os ativos descontados pretendidos martingales
Informe as medidas de base e de destino, o numerário, o horizonte, a convenção da densidade, a integrabilidade e os diagnósticos numéricos antes de usar expectativas transformadas
Perguntas frequentes
O que é a derivada de Radon–Nikodym em termos simples?
É uma razão de verossimilhança que indica quanto mais ou menos peso uma medida de probabilidade dá a cada resultado em comparação com outra
Por que Q precisa ser absolutamente contínua em relação a P?
Caso contrário, Q poderia atribuir probabilidade positiva a um evento que P considera impossível, e nenhuma densidade finita relativa a P conseguiria recuperá-lo
dQ/dP é uma derivada temporal?
Não. É a densidade da medida Q em relação a P; um processo de densidade indexado pelo tempo é formado por uma expectativa condicional
Como isso se relaciona à precificação neutra ao risco?
Ele fornece a mudança de pesos das probabilidades físicas para as de precificação, permitindo que os preços negociados descontados se tornem martingales sob Q