Martingales na precificação de opções explicadas

Seja Mₜ um processo e Fₜ a informação disponível no tempo t. Uma martingale satisfaz E[Mᵤ | Fₜ] = Mₜ para todo tempo posterior u, com condições de integrabilidade

A condição é essencial. A previsão usa tudo o que já é conhecido, não apenas uma média de longo prazo incondicional

A definição sempre especifica uma medida de probabilidade e uma filtração de informações. Um processo pode ser uma martingale sob uma medida, mas não sob outra

Jogo justo não significa que o próximo valor será igual ao valor atual. Significa que as variações condicionais positivas e negativas se equilibram em expectativa

Saltos grandes, distribuições amplas e incerteza dependente do caminho são compatíveis com a propriedade de martingale se as expectativas necessárias existirem

Martingale também não significa incrementos independentes. A dependência pode continuar, desde que a restrição da média condicional seja mantida

Um ativo negociável normalmente tem carrego, dividendos ou efeitos de financiamento, portanto seu preço não descontado não precisa ser uma martingale sob uma medida de precificação

Divida o valor de retorno total pelo numerário escolhido, como uma conta do mercado monetário. Sob hipóteses adequadas de ausência de arbitragem, o processo descontado se torna uma martingale

Mudar o numerário muda a medida associada e quais preços relativos são martingales. A unidade de conta faz parte da afirmação

Para um payoff replicável H no tempo T, seu valor descontado hoje é igual à expectativa condicional, sob a medida de precificação, do payoff descontado

Isso não é uma média baseada em frequências históricas. A medida é escolhida para manter os preços negociáveis descontados consistentes com a ausência de arbitragem

A fórmula resume um argumento de replicação dinâmica. Ela não elimina as hipóteses sobre negociação, estados do modelo, dividendos ou financiamento

Escolha os pesos de precificação de alta e de baixa de modo que o valor esperado seguinte do subjacente descontado seja igual ao seu valor descontado atual

Aplique esses mesmos pesos aos valores da opção nos nós seguintes e desconte para trás. Repetir a etapa produz o preço na raiz

A probabilidade neutra ao risco da árvore é, portanto, um peso de martingale. Ela não afirma que a ação real tenha retorno excedente esperado igual a zero

Uma submartingale tem valor futuro esperado condicional pelo menos tão grande quanto o presente; uma supermartingale tem valor no máximo tão grande

Esses conceitos aparecem com restrições, consumo, exercício americano e superhedge, nos quais a igualdade exata pode ser substituída por um limite unilateral

O prefixo, por si só, não prevê um lucro negociável. Medida, desconto, admissibilidade e integrabilidade ainda controlam a interpretação

É tentador pensar que qualquer regra de parada em um jogo justo preserva sua expectativa. Os teoremas de parada opcional exigem limitações, integrabilidade ou condições relacionadas

Estratégias de dobrar a aposta podem violar a admissibilidade ou exigir capital ilimitado. Elas não criam uma arbitragem prática a partir da definição de martingale

Problemas de parada de opções americanas usam tempos de exercício e processos de valor cuidadosamente definidos, não uma promessa irrestrita de que o momento nunca pode importar

Preços observados incluem spreads, cotações desatualizadas, restrições e negociação discreta. Uma martingale de modelo é uma afirmação dentro de idealizações especificadas

Martingales locais estritas, bolhas, claims não limitados e problemas de existência da medida mostram por que as condições técnicas nem sempre podem ser ignoradas

Antes de aplicar uma fórmula de martingale, especifique o processo, a medida, o numerário, a filtração, a integrabilidade do payoff e as estratégias de negociação disponíveis