Cálculo de Stratonovich versus Itô explicado
Saiba como as integrais estocásticas de Stratonovich e Itô diferem, como converter seus termos de drift e por que os modelos financeiros precisam declarar a convenção
Resposta direta
O cálculo de Itô e o de Stratonovich descrevem a mesma dinâmica estocástica depois da conversão adequada, mas avaliam integrandos ruidosos em pontos diferentes de cada intervalo. A conversão acrescenta um termo de drift de variação quadrática, portanto uma equação fica incompleta até que sua convenção de integração seja nomeada
O ponto de amostragem muda a integral
Uma integral de Itô usa informações no extremo esquerdo de cada intervalo de tempo. Isso torna seu integrando previsível e dá à integral uma propriedade de martingal sob premissas padrão
Uma integral de Stratonovich usa um limite no estilo do ponto médio. Ela segue mais de perto a regra da cadeia comum para mudanças suaves de coordenadas
Nenhuma notação é automaticamente mais realista. A convenção apropriada decorre do limite de modelagem, do fluxo de informação e da grandeza representada
Converter convenções muda o drift
Para uma difusão unidimensional, dX = a(X)dt + b(X)∘dW na forma de Stratonovich se torna dX = [a(X) + 1/2 b(X)b'(X)]dt + b(X)dW na forma de Itô
O termo extra não é um ajuste discricionário. Ele vem da covariação quadrática entre o integrando dependente do estado e o movimento browniano
Quando b é constante, b' é zero e as duas formas coincidem. É na volatilidade dependente do estado que a mistura silenciosa se torna custosa
Um exemplo de ruído multiplicativo evidencia a diferença
Considere b(X) = σX e drift de Stratonovich igual a zero. O drift de Itô equivalente é 1/2σ²X
Usar σ = 40% produz uma correção de 8% de X por ano antes de qualquer drift econômico especificado separadamente
Esse número é uma mudança de representação, não um retorno esperado da ação nem um alpha negociável. Um modelo financeiro ainda precisa especificar sua medida, carry, dividendos e restrições [!TRYMARK] Mantenha a convenção junto com o cenário Em uma data ou ponto de controle de resultados, registre o input da ação, a premissa de VI, o resultado-alvo e se o modelo usa dinâmica de Itô ou de Stratonovich. Um drift copiado sem sua convenção pode alterar o resultado do Path antes que o mercado se mova
Modelos de precificação normalmente declaram a dinâmica de Itô
Modelos de precificação de ativos em tempo contínuo geralmente usam processos de Itô porque estratégias de negociação autofinanciadas são adaptadas às informações disponíveis antes do próximo choque
O lema de Itô, as medidas martingais e a derivação padrão de Black–Scholes são escritos nessa convenção
Modelos físicos derivados de limites de ruído colorido podem produzir naturalmente equações de Stratonovich. Converta-as antes de combiná-las com um cálculo de precificação ou hedge em Itô
A conversão não corrige o risco do modelo
Uma equação pode estar corretamente convertida e ainda omitir saltos, volatilidade estocástica, liquidez, hedge discreto ou parâmetros mal especificados
Sistemas multidimensionais exigem o Jacobiano completo e a estrutura de covariância, não o atalho escalar 1/2 b(X)b'(X)
Sempre declare a EDE, a convenção de integração, a medida de probabilidade, a unidade de tempo e a interpretação do ruído antes de comparar resultados
Perguntas frequentes
O cálculo de Stratonovich é mais correto que o de Itô?
Não. Eles são descrições equivalentes quando convertidos corretamente. A forma adequada depende de como o modelo estocástico surge e de como será usado
Por que o drift muda durante a conversão?
O integrando pode se mover junto com o movimento browniano quando depende do estado. Sua covariação quadrática permanece como uma correção de drift finita
Posso usar a regra da cadeia comum com um processo de Itô?
Não diretamente. O lema de Itô acrescenta um termo de segunda ordem proveniente da variação quadrática. A notação de Stratonovich restaura a regra de aparência comum apenas com sua própria convenção