Teorema de Girsanov explicado na precificação de opções
Aprenda como o teorema de Girsanov muda o drift browniano entre medidas de probabilidade, por que a volatilidade permanece fixa e como surge a dinâmica neutra ao risco
Resposta direta
O teorema de Girsanov mostra como uma mudança de medida absolutamente contínua desloca o drift de um processo browniano enquanto preserva sua difusão. Sob as condições declaradas, ele transforma a dinâmica física em dinâmica de precificação
A dinâmica física contém um drift de retorno esperado
Sob uma medida física P, uma ação pode seguir dS/S = μdt + σdWᴾ, em que μ representa o retorno esperado modelado
Esse drift é relevante para previsões e escolhas de portfólio, mas o valor de uma opção sem arbitragem não deve depender de uma estimativa arbitrária de μ em um modelo de difusão completo
Passar de probabilidades físicas para probabilidades de precificação exige mais que substituir um símbolo por outro. É necessária uma transformação de medida válida
Um processo de densidade repondera caminhos inteiros
A derivada de Radon–Nikodym define como a nova medida pondera eventos em relação à medida antiga até cada instante
Para modelos brownianos, essa densidade costuma ser escrita como uma exponencial estocástica construída a partir de um processo frequentemente denotado por λ
A densidade precisa permanecer positiva e ter esperança igual a um. Caso contrário, a expressão proposta pode não definir uma medida de probabilidade equivalente
O movimento browniano ganha um drift compensatório
Com uma densidade válida, Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt torna-se um movimento browniano sob a nova medida Q, usando uma convenção comum de sinal
Substituir dWᴾ = dWᵠ − λdt desloca o drift de todo processo exposto a esse choque browniano
O coeficiente de volatilidade que multiplica dW não desaparece. Mudanças equivalentes de medida de difusão alteram o drift, não a estrutura de covariância instantânea
O drift neutro ao risco segue financiamento e carry
Para uma ação sem dividendos, escolha λ para que o drift sob Q se torne a taxa curta r. Com yield de dividendos q, o drift ex-dividendo é normalmente r − q
Então o ativo de retorno total descontado é uma martingal sob Q, e um payoff replicável pode ser precificado pela esperança descontada sob Q
O resultado não diz que a ação realmente rende r no mundo real. Ele declara como seu drift aparece sob a medida de precificação escolhida
Lambda representa um preço do risco browniano
No caso simples de coeficientes constantes, λ = (μ − r) / σ sob a convenção de sinal declarada e sem dividendos
Com várias fontes de risco, um vetor de preços de risco desloca o drift por meio da matriz de exposições à volatilidade. Nem todo drift desejado pode ser alcançado se as exposições não tiverem posto suficiente
Em mercados incompletos, componentes do preço do risco podem permanecer indeterminados pelos ativos negociados, produzindo mais de uma medida de martingal admissível
O teorema precisa de condições de integrabilidade
Novikov, Kazamaki ou condições relacionadas são normalmente usadas para garantir que a exponencial estocástica seja uma martingal verdadeira, e não apenas uma martingal local
A equivalência também preserva eventos de probabilidade zero. Uma transformação não pode tornar possível um caminho genuinamente impossível e continuar sendo equivalente
Coeficientes explosivos, martingais locais estritas, horizontes infinitos ou regularidade fraca podem invalidar uma aplicação casual da fórmula
Saltos e implementação exigem uma mudança mais ampla
Para processos com saltos, a mudança de medida pode alterar a intensidade dos saltos e a distribuição do tamanho dos saltos, além do drift contínuo
Modelos de precificação calibrados especificam diretamente parâmetros neutros ao risco, mas conectá-los a estimativas físicas ainda exige um modelo de prêmio de risco
Declare a medida original, a medida-alvo, a densidade, a convenção de sinal, o numeraire, o horizonte e as condições antes de interpretar a dinâmica transformada
Perguntas frequentes
O que o teorema de Girsanov faz em finanças?
Ele fornece condições para mudar a medida de probabilidade de modo que o drift browniano mude e os preços descontados de ativos negociáveis possam se tornar martingais
O teorema de Girsanov muda a volatilidade?
Em uma mudança equivalente de difusão browniana, ele desloca o drift enquanto preserva o coeficiente de difusão instantâneo e a covariância
O que é o preço de mercado do risco?
É o processo usado na densidade para traduzir a exposição ao risco em um ajuste de drift entre as medidas física e de precificação
O teorema de Girsanov pode ser usado com saltos?
Sim, por meio de resultados mais amplos para semimartingais, mas a intensidade e a lei do tamanho dos saltos também podem mudar e precisam ser especificadas