Condições de Novikov e Kazamaki explicadas

Para um martingal local contínuo M, sua exponencial estocástica é Z_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)

Z é um martingal local positivo e, portanto, um supermartingal, então E[Z_t] pode cair abaixo de seu valor inicial um

Se houver perda de massa, Z_T não pode servir como densidade de probabilidade sem mudar a construção pretendida

Uma densidade em horizonte finito exige Z_T ≥ 0 e E[Z_T] = 1, com o processo de densidade dado por esperanças condicionais

A integrabilidade uniforme controla a família ao longo do horizonte e apoia mudanças de medida consistentes em tempos de parada

Escrever uma expressão exponencial não prova que ela se normaliza para um nem que define uma medida equivalente

Um critério comum de Novikov é E[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞ para um horizonte finito fixo T

Para M = ∫θ_s dW_s, o colchete é ∫₀ᵀθ_s²ds, então o teste exige integrabilidade exponencial do deslocamento acumulado ao quadrado

O critério é conveniente porque usa variação quadrática, mas pode ser mais forte do que o necessário

Critérios do tipo Kazamaki controlam exp(M/2), normalmente por meio de uma condição de submartingal ou de integrabilidade uniforme ao longo dos tempos de parada

Eles podem estabelecer a propriedade de martingal verdadeiro em casos nos quais o momento exponencial do colchete de Novikov é infinito

As afirmações exatas variam conforme o horizonte e a versão do teorema, então o critério citado e a convenção de sinal devem ser explícitos

Ambas as condições são testes suficientes, não definições e, em geral, não são condições necessárias

Se Novikov falhar, Kazamaki, oscilação média limitada, cálculos diretos de esperança ou argumentos específicos do modelo ainda podem funcionar

Se todos os testes convenientes falharem, não se pode simplesmente presumir a propriedade de martingal; o comportamento de martingal local estrito continua possível

Mudanças de drift de Girsanov e densidades neutras ao risco costumam usar uma exponencial estocástica construída a partir do preço de mercado do risco

Se a densidade for um martingal local estrito, e não um martingal verdadeiro, a medida de precificação proposta pode ser defeituosa ou inconsistente entre horizontes

Esse problema também aparece em estimadores de razão de verossimilhança, filtragem, dualidade de utilidade e modelos com comportamento semelhante a bolhas

Uma condição válida para todo T finito não precisa fornecer integrabilidade uniforme em um horizonte infinito

A localização prova identidades locais, mas não restaura por si só a esperança perdida quando se tomam limites

Exponenciais com saltos exigem critérios de positividade e integrabilidade que considerem saltos; a fórmula contínua de Novikov não deve ser copiada sem alteração